Rademacherfunktionen

Die Rademacherfunktionen, benannt nach Hans Rademacher, sind für jede natürliche Zahl $n$ auf dem (halboffenen) Einheitsintervall [0,1) definierte Funktionen, die nur die Werte -1 und 1 annehmen.

Die ersten drei Rademacherfunktionen

Definition

Die $n$-te Rademacherfunktion ist so definiert:

$r_{n}(t):=(-1)^{k}\,$, falls ${\frac {k}{2^{n}}}\leq t<{\frac {k+1}{2^{n}}}$ gilt (mit einem k mit $0\leq k<2^{n}-1$).

Alternativ kann man die $n$-te Rademacherfunktion durch

$r_{n}(t):=\operatorname {sgn} {\big (}\sin {\big (}2^{n}\pi t{\big )}{\big )}$

definieren. Diese Definition ist äquivalent zur ersten Definition für alle Zahlen $t$, die nicht von der Form $k/2^{n}\,$ sind. Wenn $t$ diese Form hat, so ist $\sin \left(2^{n}\pi t\right)=0$ und daher verschwindet auch das Vorzeichen (sgn). Der Unterschied betrifft jedoch für jedes $n$ nur endlich viele $t$ und spielt daher z.B. in Funktionenräumen wie $L^{2}([0,1])$ keine Rolle (da hier die Funktionen auf Nullmengen beliebig verändert werden können).

Beispiele

Für die Funktion $r_{1}(t)\,$ gilt also:

$r_{1}(t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1/2,\\-1&1/2\leq t<1,\end{cases}}$

und für die Funktion $r_{2}(t)\,$:

$r_{2}(t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1/4,\\-1&1/4\leq t<1/2,\\1\quad &1/2\leq t<3/4,\\-1&3/4\leq t<1.\\\end{cases}}$

Allgemein ordnet die $n$-te Rademacher-Funktion einer Zahl $t$ im Einheitsintervall eine –1 zu, wenn die $n$-te Ziffer in der Binärdarstellung von $t$ eine 1 ist, und eine 1, falls diese Ziffer 0 ist. Zum Beispiel gilt

r₁(0,375) = r₁(0,011₂) = 1

und

r₂(0,375) = r₂(0,011₂) = –1.

Rademachersystem

Die Rademacherfunktionen bilden ein Orthonormalsystem des Raum der quadratintegrierbaren Funktionen $L^{2}([0,1])$. Das heißt es gilt

$\int _{0}^{1}r_{n}(x)r_{m}(x)\mathrm {d} x=\delta _{mn}$,

wobei $\delta _{mn}$ das Kronecker-Delta ist. Dieses Orthonormalsystem trägt den Namen Rademachersystem, es ist jedoch keine Orthonormalbasis von $L^{2}([0,1])$.

Normale Zahlen

Die Zahl $t\in [0,1)$ heißt einfach normal zur Basis 2 (siehe auch normale Zahl), wenn die beiden Ziffern 0 und 1 in ihrer Binärdarstellung gleich häufig vorkommen. Die Tatsache, dass fast alle Zahlen einfach normal sind, kann man mit Hilfe der Rademacherfunktionen so beschreiben:

Es gilt für fast alle t in [0,1)

$\lim _{n\to \infty }{\frac {r_{1}(t)+\cdots +r_{n}(t)}{n}}=0.$

Interpretiert man die Binärdarstellung jeder der Zahlen im Einheitsintervall als unendliche Folge von Münzwürfen (Bernoulli-Prozess mit $p=1/2$), so ist das gerade die Aussage des starken Gesetzes der großen Zahlen.

Chintschin-Ungleichung

Eine einfache Version dieser Ungleichung, die nach Alexander Jakowlewitsch Chintschin benannt ist und in der die Rademacherfunktionen $r_{n}(t)\,$ vorkommen, lautet wie folgt.

Ist $(a_{n})_{n}$ eine Folge reeller Zahlen, so gilt für jede natürliche Zahl $N$

$\int _{0}^{1}\left|\sum _{n=1}^{N}a_{n}r_{n}(t)\right|dt\geq {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\sum _{n=1}^{N}a_{n}^{2}\right)^{1/2}.$

Siehe auch

• Haar-Wavelet
• Walsh-Funktion

Literatur

• Hans Rademacher: Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen, Mathematische Annalen 87, 112–138, 1922, Online
• Mark Kac: Statistical independence in probability, analysis and number theory (Carus Mathematical Monographs 12), Mathematical Association of America, 1959 (Kapitel 1 und 2: Anwendung auf Münzwurf)
• Donald Knuth: The Art of Computer Programming, Volume 4A: Combinatorial Algorithms, Addison Wesley, Reading (MA), 2011 (insb. S. 287/288)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Square Wave. In: MathWorld (englisch).