Euler-Mascheroni-Konstante

Die Euler-Mascheroni-Konstante ist eine mathematische Konstante, die als der Grenzwert $\lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)$ mit $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}$ festgelegt ist.

Von Leonhard Euler mit dem Buchstaben $c$ bezeichnet, wird die Euler-Mascheroni-Konstante heute allgemein mit dem griechischen Buchstaben $\gamma$ notiert. Sie ist nicht zu verwechseln mit der Eulerschen Zahl $e$.

Ihr Wert ist näherungsweise

γ ≈ 0,57721566490153286060651209008240243104215933519399235988057672348848677267776646709369470632917467495...

Es ist bis heute unbekannt, ob diese Zahl rational oder irrational, ob sie algebraisch oder transzendent ist.

Der Wert $\gamma$ ist die negative Ableitung der Gammafunktion an der Stelle 1, also $\quad \Gamma ^{\prime }(1)=-\gamma$.

Die Eulersche Konstante tritt auch bei einigen Grenzwerten und Integralen auf. Zum Beispiel ist

$\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)=\gamma$.

Dabei bezeichnet $\zeta$ die Riemannsche Zeta-Funktion. Weiter gilt

$\int _{0}^{1}-\ln(-\ln(x))\cdot dx=\gamma$.

Weblinks

• Eric W. Weisstein. "Euler-Mascheroni Constant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.