Homomorphiesatz

Der Homomorphiesatz macht eine Aussage über die Auswirkung eines Homomorphismus auf algebraische Strukturen wie Gruppen, Vektorräume, Module und Ringe. Er ist ein fundamentales Resultat der universellen Algebra.

Die minimale algebraische Struktur, für die es einen Homomorphiesatz gibt, ist die Gruppe.

Wir betrachten einen Gruppenhomomorphismus f von einer Gruppe G in eine andere Gruppe H. Der Homomorphismus hat einen Kern ker(f), der ein Normalteiler von G ist. Der größeren Allgemeinheit halber legen wir unserem Satz nicht ker(f) selbst zugrunde, sondern einen Normalteiler K von G, der, statt mit ker(f) überzueinstimmen, auch eine Teilmenge sein darf: K⊆ker(f).

Der Normalteiler K induziert die Faktorgruppe G/K, also die Menge der Nebenklassen aK mit a∈G. Die kanonische Projektion $\varphi :G\rightarrow G/K$ ist ein surjektiver Gruppen-Homomorphismus, der jedem Element a∈G die zugehörige Nebenklasse aK zuordnet.

Unter diesen Voraussetzungen besagt der Homomorphiesatz: es existiert eindeutig ein Gruppen-Homomorphismus h: G/K→H mit f = h (φ).

Der Zusammenhang wird durch das folgende kommutative Diagramm veranschaulicht:

Erläuterung: Warum ist diese Aussage nicht völlig trivial? Ergibt sich aus der Festlegung f = h (φ) nicht unmittelbar die Existenz und Eindeutigkeit von h? Nein, denn φ ist nicht bijektiv und damit nicht umkehrbar. Wir können h deshalb nicht einfach als f(φ^-1) bestimmen.

Beweis: (1) Jedes Element von G/K können wir aK schreiben, mit a∈G. Dann gilt: h(aK) = h(φ(a)) = f(a). Also ordnet h jedem Urbild ein Abbild zu.

(2) Wir erklären h durch die Gleichung h(aK) = f(a) und untersuchen, wie h auf eine alternative Darstellung des Urbildes wirkt, bK=aK. Es gilt b^-1a∈K⊆ker(f), somit f(b^-1a)=1 (neutrales Element von H). Weil f ein Gruppen-Homomorphismus ist, folgt f(a)=f(b). Also ordnet h jedem Urbild, unabhängig von dessen Darstellung, nur ein eindeutiges Abbild zu.

Damit ist die Existenz und Eindeutigkeit von h gezeigt. Zu zeigen, dass h ein Gruppen-Homomorphismus ist, ist unschwierig und nicht weiter lehrreich.

Wenn K=ker(f), dann ist h sogar injektiv und bildet einen Isomorphismus zwischen G/K und dem Bild f(G).

Aus dem Homomorphiesatz folgen die drei Isomorphiesätze.

Siehe auch: Gruppentheorie-Glossar.