Natürliche Zahl

Natürliche Zahlen sind die dem mathematischen Laien wohl am vertrautesten Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen enthält schlicht die Zahlen 0, 1, 2, 3, ... ; also die nichtnegativen ganzen Zahlen. Oftmals wird die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null definiert. Für eine formale Definition der Menge der natürlichen Zahlen und der zugehörigen Rechenregeln ist es aber sinnvoll, die Null auch als natürliche Zahl zu bezeichnen.

Peano-Axiome

Es folgt eine Definition der Axiome der natürlichen Zahlen, die erstmals 1889 von Giuseppe Peano angegeben wurde. Diese Axiome werden Peano-Axiome genannt.

1. 0 ist eine natürliche Zahl.
2. Jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger n+1, der wieder eine natürliche Zahl ist.
3. 0 ist kein Nachfolger irgendeiner natürlichen Zahl.
4. Sind zwei natürliche Zahlen verschieden, d.h. n ≠ m, dann haben sie verschiedene Nachfolger, also n+1 ≠ m+1
5. Gilt für eine Menge X: 0 ∈ X und für jedes n ∈ X ist auch n+1 ∈ X, so enthält X alle natürlichen Zahlen. (Ist X dabei selbst Teilmenge der natürlichen Zahlen, dann ist X gleich der Menge der natürlichen Zahlen.)

Die ersten beiden Axiome zeigen den induktiven Aufbau der natürlichen Zahlen. Das letzte Axiom nennt man auch das Induktions-Axiom, es bildet die Grundlage für die Beweismethode der vollständigen Induktion. Peano selbst begann die natürlichen Zahlen in seinen Axiomen mit der 1 statt mit der 0 (laut dem Artikel auf [1]).

Die Peano-Axiome bilden ein Axiomensystem der Prädikatenlogik zweiter Stufe, da neben Variablen für Zahlen im Induktionsaxiom auch die Mengenvariable X vorkommt. Ersetzt man dieses Axiom durch die entsprechenden unendlich vielen Axiome erster Stufe, so gelangt man zur Peano-Arithmetik.

Ein Modell der natürlichen Zahlen

Peano beschrieb mit seinem Axiom-System zwar die Eigenschaften von natürlichen Zahlen, er bewies aber nicht deren Existenz. Erst John von Neumann lieferte ein Beispiel für ein Modell der natürlichen Zahlen, indem er sie aus der leeren Menge her aufbaute:

$0:=\emptyset$
$1:=\{0\}=\{\emptyset \}$
$2:=\{0,1\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$
.
.
.
$n+1:=\{0,1,...,n\}=n\cup \{n\}$

Zur Erklärung: Eins ist die Menge, die nur die leere Menge (=$\emptyset$) als Element enthält; das ist nicht die leere Menge selbst!

Für die Menge der natürlichen Zahlen wird das Symbol N (fett dargestellt) verwendet. Weil dies handschriftlich nur schwer darstellbar ist, schreibt man dann ein "Doppelstrich-N". Mit der Zeit sich das Symbol $\mathbb {N}$ als Symbol für die natürlichen Zahlen (und ebenso die anderen Doppelstrich-Buchstaben für die anderen Zahlenbereiche) auch im Drucksatz durchgesetzt.

Da nicht überall die 0 als ein Element der natürlichen Zahlen angesehen wird, ist es sinnvoll, von positiven (1, 2, 3, ...) und nicht-negativen (0, 1, 2, ...) ganzen Zahlen zu sprechen.

In Texten, in denen die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null als $\mathbb {N}$ bezeichnet wird, wird zur Unterscheidung das Symbol $\mathbb {N} _{0}$ oder $\mathbb {N} \cup \{0\}$ für die Menge der natürlichen Zahlen mit Null verwendet. Falls jedoch das Symbol $\mathbb {N}$ für die Menge der natürlichen Zahlen mit Null eingeführt wurde, wird meist $\mathbb {N} ^{+}$, $\mathbb {N} _{>0}$ oder $\mathbb {N} \setminus \{0\}$ geschrieben, wenn die Null explizit ausgeschlossen werden soll.

Die Primzahlen stellen die multiplikativen Grundbausteine der natürlichen Zahlen dar: Jede natürliche Zahl außer der 0 lässt sich auf genau eine Art als Multiplikation von Primzahlen zusammensetzen. Die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist dabei die Aussage des Fundamentalsatz der Arithmetik.

Die 1 ist keine Primzahl; ihre Primfaktorzerlegung ist das leere Produkt mit 0 Faktoren, welches definitionsgemäß den Wert 1 hat.

Verwandte Themen

• Zahlenbereiche
• Ganze Zahlen
• Rationale Zahlen
• Reelle Zahlen
• Komplexe Zahlen
• Ordinalzahlen
• Zahlensystem
• Liste besonderer Zahlen

siehe auch

• Zahlentheorie
• Dyskalkulie