Satz von Beckman und Quarles

Der Satz von Beckman und Quarles ist ein Satz über geometrische Transformationen.

Er besagt, dass eine beliebige Abbildung des n-dimensionalen Raumes in sich, die sämtliche Punktpaare mit Abstand 1 in ebensolche überführt, bereits eine Isometrie des Raumes ist, also sämtliche Entfernungen unverändert lässt.

Präziser ausgedrückt:

Sei $\phi :\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ^{n}$ für $n\geq 2$ eine Abbildung von $\mathbb {R} ^{n}$ in sich mit der Eigenschaft

es gibt $r>0$, so dass für alle $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $|x-y|=r$ auch $|\phi (x)-\phi (y)|=r$ gilt.

Dann gilt für alle $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$, dass $|x-y|=|\phi (x)-\phi (y)|$.

Der Satz wurde im Jahre 1952 von F. S. Beckman und D. A. Quarles bewiesen.

Literatur

• F. S. Beckman and D. A. Quarles, Jr., On isometries of Euclidean spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 4 (1953), 810–815