Umkreis

In der ebenen Geometrie ist ein Umkreis ein Kreis, der durch alle Eckpunkte eines Vielecks (eines Polygons) geht.

Nicht für jedes Polygon existiert ein solcher Umkreis. Allgemein besitzt ein konvexes Polygon genau dann einen Umkreis, wenn sich die Mittelsenkrechten aller Seiten in einem Punkt schneiden. In diesem Fall ist der gemeinsame Punkt der Mittelpunkt des Umkreises.

Datei:UmkreisVieleck.png

Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis (siehe unten). Für Vierecke, Fünfecke usw. gilt dies im Allgemeinen nicht mehr. Vierecke, die einen Umkreis haben, werden Sehnenvierecke genannt. Spezialfälle sind das gleichschenkelige Trapez, das Rechteck und das Quadrat. Unabhängig von der Eckenzahl hat jedes regelmäßige Vieleck einen Umkreis.

Umkreis eines Dreiecks

Dass für jedes beliebige Dreieck ein Umkreis existiert, lässt sich folgendermaßen begründen: Alle Punkte der Mittelsenkrechten zu [AB] sind von A und B gleich weit entfernt. Entsprechend haben die Punkte der Mittelsenkrechten zu [BC] übereinstimmende Entfernungen von B und C. Der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten ist also von allen drei Ecken (A, B und C) gleich weit entfernt. Er muss also auch auf der dritten Mittelsenkrechten liegen. Zeichnet man um diesen Schnittpunkt einen Kreis, der durch eine Ecke des Dreiecks geht, so müssen auch die anderen Ecken auf diesem Kreis liegen.

Für spitzwinklige Dreiecke liegt der Umkreismittelpunkt im Inneren des Dreiecks. Beim rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse zugleich Umkreismittelpunkt (siehe Satz des Thales). Im Falle eines stumpfwinkligen Dreiecks (mit einem Winkel über 90°) befindet sich der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.

Umkreismittelpunkt eines Dreiecks ($X_{3}$)
Trilineare Koordinaten	$\cos \alpha \,:\,\cos \beta \,:\,\cos \gamma$ $=a(b^{2}+c^{2}-a^{2})\,:\,b(c^{2}+a^{2}-b^{2})\,:\,c(a^{2}+b^{2}-c^{2})$
Baryzentrische Koordinaten	$\sin(2\alpha )\,:\,\sin(2\beta )\,:\,\sin(2\gamma )$

Verwandte Begriffe

Der Umkreis ist neben mit dem Inkreis und den drei Ankreisen der bekannteste unter den besonderen Kreisen der Dreiecksgeometrie.

Überträgt man die Definition des Umkreises auf den (dreidimensionalen) Raum, so erhält man den Begriff der Umkugel, also einer Kugel, auf der alle Eckpunkte eines gegebenen Polyeders (Vielflächners) liegen.

Weblinks

• http://de.wikipedia.org/upload/0/00/Umkreis.png Umkreis eines regulären Sechsecks
• http://blk.mat.uni-bayreuth.de/~thomas/geosem/dreipkt/1_1.htm Umkreis eines Dreiecks - farbig
• http://www.walter-fendt.de/m14d/umkreis.htm Umkreis-Konstruktion wird Schritt für Schritt vorgeführt