Reziprokenregel

Die Reziprokenregel dient zur Ableitung von mathematischen Funktionen der Form

$f(x)={\frac {1}{v(x)}}$

Ist die Funktion $v(x)$ von einem Intervall D in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle $x_{a}$ mit $v(x_{a})\neq 0$ differenzierbar, dann ist auch die Funktion f an der Stelle $x_{a}$ differenzierbar und es gilt für die Ableitung:

$f'(x_{a})=\left[{\frac {1}{v}}\right]'(x_{a})=\left[v^{-1}\right]'(x_{a})=(-1)\cdot v^{-2}(x_{a})\cdot v'(x_{a})=-{\frac {v'(x_{a})}{v^{2}(x_{a})}}$

Die Reziprokenregel lautet damit wie folgt in Kurzschreibweise:

$\left[{\frac {1}{v}}\right]'=-{\frac {v'}{v^{2}}}$

Die Reziprokenregel ist damit ein Spezialfall der Quotientenregel mit ${u(x)=1}$.

Beispiel

Möchte man die Ableitung der Funktion

$f(x)={\frac {1}{\sin(x)}}$

berechnen und man weiß die Ableitung der Funktion $f(x)=\sin(x)$, setzt man $v(x)=\sin(x)$ und erhält nach der Reziprokenregel

$f'(x)=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}$

für alle $x$, die kein ganzzahliges Vielfaches von $\pi$ sind.