Low-Density-Parity-Check-Code

Low-Density-Parity-Check-Codes, auch als LDPC oder Gallager-Codes bezeichnet, sind lineare Blockcodes zur Fehlerkorrektur. Sie wurden 1962 von Robert Gray Gallager im Rahmen seiner Dissertation am MIT entwickelt .

Low-Density-Parity-Check-Codes beschreiben mit Hilfe einer Matrix viele zusammenhängende Paritätsprüfungen. Es wird dabei das Prinzip einer Kontrollmatrix angewandt: $H\cdot b^{T}=0$, wobei $H$ die Kontrollmatrix (parity-check matrix) und $b$ die Folge der empfangenen Codesymbole darstellt. H ist nur dünn besetzt (daher die Bezeichnung low-density).

Notation

$(n,l,R)LDPC$

• $n$ = Codewortlänge
• $l$ = Anzahl an Informationsstellen
• $R$ = Coderate

Begriffsdefinition

• $a^{*}$ oder $a_{l}$ Quellcodewort (Infowort)
• $a_{k}$ redundanter Teil des Kanalcodewortes
• $a$ Kanalcodewort
• $b$ Empfangsfolge
• $H$ Kontrollmatrix

Reguläre und nicht reguläre Codes

Ein LDPC Code dessen Kontrollmatrix in jeder Zeile und in jeder Spalte die gleiche Anzahl an Einsen (Zeilen- und Spaltengewicht) enthält, wird regulär genannt. Das Zeilengewicht muss hierbei nicht der Größe des Spaltengewichtes entsprechen.

Ein LDPC Code der dieser Anforderung nicht genügt (also ein Code in dem Spalten- und/oder Zeilengewichte variieren) wird hingegen als „irregulär“ bezeichnet.

Kodierung

Es gilt eine zu sendende Folge $a$ zu finden, die der Gleichung $H\cdot a^{T}=0$ genügt.

Eine mögliche Form der Codierung funktioniert folgendermaßen: Das Kanalcodewort $a$ ist zusammengesetzt aus den zu sendenden Daten $a_{l}$ (welche bekannt sind) und dem redundanten Teil $a_{k}$. Da $a$ oben genannte Formel erfüllen muss, muss $a_{k}$ entsprechend berechnet werden:

• Sei $a=[a_{k},a_{l}]$ und $H=[H_{k},H_{l}]$
• Es soll gelten: $[H_{k},H_{l}]*[a_{k},a_{l}]^{T}=0$
• Dies kann umgeformt werden: $[H_{k}][a_{k}]=[H_{l}][a_{l}]$
• Daraus ergibt sich $a_{k}^{T}=H_{k}^{-1}\cdot H_{l}\cdot a_{l}$

In Worten ausgedrückt, muss dabei der 1. quadratische Teil der Kontrollmatrix mit dem verbliebenen Teil der Kontrollmatrix und den zu sendenden Daten multipliziert werden.

Decodierung

Hierbei gilt es ebenso, das Problem $H\cdot b^{T}=0$ zu lösen. Hierzu werden häufig iterative Graph-basierte Algorithmen gewählt. Nach der Übertragung des Kanalcodewortes $a$ über einen Übertragungskanal, z. B. einen AWGN-Kanal (additives weißes Gauß'sches Rauschen), wird in der Regel das Wort $b_{M}$, bestehend aus reellen Werten, empfangen. Aus diesen wird, im Regelfall mit Hilfe eines iterativen Verfahrens, eine Näherungslösung berechnet. Durch die Gleichungsmatrix H werden N Gleichungen vorgegeben; jede dieser Gleichungen erlaubt es, unabhängige Informationen zu den enthaltenen Elementen zu berechnen. Nun werden diese Informationen in den anderen Gleichungsberechnungen wiederverwendet. Zu beachten ist dabei, dass die Informationen, die mit einer Gleichung berechnet wurden, in der nächsten Iteration vor der erneuten Berechnung entfernt werden müssen.

Konstruktion von LDPC Codes

LDPC Codes werden durch Ihre Kontrollmatrix H beschrieben. Einen LDPC Code zu entwickeln heißt also eine geeignete Kontrollmatrix zu finden oder zu konstruieren. Die zum Erstellen von Kodewörtern benötigte Generatormatrix G kann mit Hilfe des Gauß-Jordan Verfahrens aus H hergeleitet werden. Zur Generierung von Kontrollmatrizen eignen sich u.a. die folgenden Verfahren, welche teilweise darauf basieren die Kontrollmatrix als Tanner-Graph zu versinnbildlichen und diesen unter Zuhilfenahme verschiedener Algorithmen zu bearbeiten:

• Progressive Edge Growth (PEG)
• Konstruktion nach David J. C. MayKay und Radford M. Neal
• Zufällige Konstruktion der Kontrollmatrix

Um die Anzahl der in der Matrix vorkommenden Einsen zu verhältnismäßig gering zu halten, können auch noch so genannte „Row Splitting“- und „Column Splitting“-Algorithmen eingesetzt werden.

Literatur

• Robert G. Gallager: Low-Density Parity-Check Codes. M.I.T. Press Classic Series, Cambridge MA, 1963 (M.I.T. Press research monographs 21, ZDB-ID 597839-7), (andere Fassung).
• David J. C. MacKay: Information theory, inference and learning algorithms. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2003, ISBN 0-521-64298-1 (auch online verfügbar).
• Todd K. Moon: Error Correction Coding. Mathematical Methods and Algorithms. Wiley-Interscience, Hoboken NJ, 2005, ISBN 0-471-64800-0.
• Amin Shokrollahi: LDPC Codes: An Introduction. In: Keqin Feng u. a. (Hrsg.): Coding, cryptography and combinatorics. Birkhäuser, Basel u. a. 2004, ISBN 3-7643-2429-5, S. 85–112 (Progress in computer science and applied logic 23), ([1]).