Goldene Regel der Akkumulation

Das Phelpsche Theorem besagt, dass der Konsum je Kopf dann maximiert wird, wenn der Zinssatz gleich der Wachstumsrate des Bruttoinlandsprodukts ist.

Steady-State-Wachstumsrate

${\dot {K}}=I=S$

Sparquote $s={\frac {S}{Y}}={\frac {\dot {K}}{Y}}$

Konsum $C=(1-s)\cdot Y$

Kapitalintensität$k={\frac {K}{A}}$

Pro-Kopf-Produktion: $y={\frac {Y}{A}}$

Produktionsfunktion:

$Y=F(K,A)$

Linear homogene Produktionsfunktion:

$konst.\cdot Y=F(konst.\cdot K,konst.\cdot A)$

$konst.={\frac {1}{A}}:$

${\frac {1}{A}}\cdot Y=F({\frac {1}{A}}\cdot K,{\frac {1}{A}}\cdot A)$

also:

$y=F(k,1)=f(k)$

Wachstumsrate der Bevölkerung:

${{\dot {A}} \over A}={\hat {A}}=m$

Steady-State-Wachstumsrate, alle Größen sollen mit der gleichen Rate wachsen:

${{\dot {Y}} \over Y}={{\dot {A}} \over A}={{\dot {K}} \over K}=m$

${{\dot {K}} \over K}={\hat {K}}=s\cdot {\frac {Y}{K}}=s\cdot {\frac {y}{k}}=m$

$s\cdot {\frac {y}{k}}=s\cdot {\frac {f(k)}{k}}=m$

$s\cdot f(k)=m\cdot k$

Maximierung des Pro-Kopf-Konsums

Bei welcher Steady-State-Wachstumsrate wird der Konsum je Kopf

${\frac {C}{A}}$

maximiert?

${\frac {C}{A}}=(1-s){\frac {Y}{A}}=(1-s)y=(1-s)f(k)$

Laut Steady State gilt:

$s\cdot f(k)=m\cdot k$

Also:

${\frac {C}{A}}=f(k)-m\cdot k$

Maximierung des Pro-Kopf-Konsums bezüglich k bedeutet nach k ableiten und gleich null setzen:

$f^{\prime }(k)-m=0$

Phelpsches Theorem

Die Grenzproduktivität des Kapitals $f^{\prime }(k)$ muss also gleich der Wachstumsrate m sein. Neoklassisch wird angenommen, dass die Grenzproduktivität des Kapitals gleich dem Preis für den Kapitaleinsatz ist, also gleich der Profitrate bzw. dem Zinssatz.

Nebenrechnung zur Grenzproduktivität des Kapitals

Grenzproduktivität des Kapitals als partielle Ableitung von F(K,A) nach K:

${\frac {\delta F(K,A)}{\delta K}}$

Linerare Homogenität:

$F(K,A)=A\cdot F({\frac {K}{A}},1)=A\cdot f(k)$

Teilrechnung:

${\frac {\delta F({\frac {K}{A}},1)}{\delta K}}$

$={\frac {\delta F({\frac {K}{A}},1)}{\delta {\frac {K}{A}}}}\cdot {\frac {\delta {\frac {K}{A}}}{\delta K}}$

$=\cdot f^{\prime }(k){1 \over A}$

Insgesamt also:

${\frac {\delta F(K,A)}{\delta K}}=f^{\prime }(k)$