Sinus und Kosinus

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind mathematische Funktionen aus der Klasse der trigonometrischen Funktionen. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels das Verhältnis der Gegenkathete (Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel), der Kosinus ist das Verhältnis der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkel bildet) zur Hypotenuse.

Datei:Sin.png

Graph der Sinusfunktion

Datei:Cos.png

Graph der Kosinusfunktion

${\mbox{Sinus eines Winkels}}={\frac {\mbox{Gegenkathete des Winkels}}{\mbox{Hypotenuse}}}$

${\mbox{Kosinus eines Winkels}}={\frac {\mbox{Ankathete des Winkels}}{\mbox{Hypotenuse}}}$

Im rechtwinkeligen Dreieck lassen sich Sinus und Kosinus nur für Winkel zwischen 0 und 90 Grad definieren; für beliebige Winkel ist der Sinus als y-Koordinate und der Kosinus als x-Koordinate eines Punktes am Einheitskreis definiert, mittels Potenzreihendarstellung lässt sich die Definition auf komplexe Argumente verallgemeinern.

Geometrische Definition

Definition mit rechtwinkeligem Dreieck

Datei:RechtwinkligesDreieck.png

Dreieck mit einem rechten Winkel in C

Der Sinus und der Kosinus definieren sich über die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck. Betrachtet man den Winkel zwischen Hypotenuse und einer der beiden Katheten, dann ist der Sinus das Verhältnis von der dem Winkel gegenüberliegenden Seite (die eine Kathete ist) zur Hypotenuse, und der Kosinus das Verhältnis von der Kathete, die einen Schenkel des Winkel bildet, zur Hypotenuse (die den anderen Schenkel des Winkel bildet).

Formelmäßig gilt hier: Ist c die Hypotenuse und liegt der Winkel α zwischen c und der Kathete b, also der Kathete a gegenüber, dann ist der Sinus

$\sin(\alpha )={\frac {a}{c}}$

und der Kosinus

$\cos(\alpha )={\frac {b}{c}}$

Da aus geometrischen Gründen die Hypotenuse die längste Seite ist (denn sie liegt dem größten Winkel, also dem rechten Winkel, gegenüber), gelten auch stets sin (α) ≤ 1 und cos (α) ≤ 1.

Betrachtet man statt α den gegenüberliegenden Winkel β, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von α ist die Gegenkathete von β und die Gegenkathete von α ist die Ankathete von β, es gilt also

$\sin(\beta )={\frac {b}{c}}$

und

$\cos(\beta )={\frac {a}{c}}$

Da im rechtwinkeligen Dreieck α + β = 90° gilt, folgt

cos(α) = sin(90° - α)

und

sin(α) = cos(90° - α).

Auf dieser Beziehung beruht auch die Bezeichnung Kosinus, nämlich der Sinus des Komplementärwinkels.

Aus dem Satz des Pythagoras folgt die Beziehung

sin²(α) + cos²(α) = 1 .

Definition mit Einheitskreis

Einheitskreis

Da im rechtwinkeligen Dreieck der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete Werte von 0 bis 90 Grad annehmen kann, sind Sinus und Kosinus zunächst nur für solche Winkel definiert. Für eine allgemeine Definition betrachtet man einen Punkt $P$ mit den Koordinaten $(x,y)$ auf dem Einheitskreis, also $x^{2}+y^{2}=1$. Der Ortsvektor von $P$ schließt mit der x-Achse einen Winkel $\alpha$ ein. Der Koordinatenursprung $(0,0)$, der Punkt $(x,0)$ auf der x-Achse und der Punkt $P(x,y)$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=1$. Die Ankathete des Winkels $\alpha$ ist der Vektor $(x,0)$ der Länge $x$, es gilt also

$\cos(\alpha )=x\!$

Die Gegenkathete des Winkels $\alpha$ ist der Vektor von $(x,0)$ nach $(x,y)$, also der Vektor $(0,y)$ der Länge $y$, es gilt also

$\sin(\alpha )=y\!$

Die y-Koordinate eines Punktes im ersten Quadranten des Einheitskreises entspricht also dem Sinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der x-Achse, die x-Koordinate dem Kosinus des Winkels. Setzt man diese Definition in den anderen Quadranten fort, so lassen sich Sinus und Kosinus für beliebige Winkel definieren.

Für negative Winkel betrachte man die Beziehung

$\sin(-\alpha )=-\sin(\alpha )$

und

$\cos(-\alpha )=\cos(\alpha )$,

aus der sich Sinus und Cosinus für den vierten Quadranten, also Winkel zwischen -90 und 0 Grad berechnen lassen. Der Sinus ist also eine ungerade Funktion, der Kosinus eine gerade.

Für Winkel größer 90 Grad betrachte man die Beziehung

$\sin(90^{\circ }+\alpha )=\sin(90^{\circ }-\alpha )$

und

$\cos(90^{\circ }+\alpha )=-\cos(90^{\circ }-\alpha )$,

aus der sich Sinus und Cosinus für den zweiten und dritten Quadranten, also Winkel zwischen 90 und 270 Grad berechnen lassen.

Für Winkel kleiner -90 Grad und größer 270 Grad ergeben sich Sinus und Kosinus aus den Beziehungen

$\sin(\alpha )=\sin(\alpha +360^{\circ })$

und

$\cos(\alpha )=\cos(\alpha +360^{\circ })$;

Sinus und Kosinus sind also periodische Funktionen mit Periode 360 Grad.

Wertebereich und spezielle Funktionswerte

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion können für reelle Argumente nur Werte zwischen -1 und 1 annehmen.

Verlauf des Sinus in den vier Quadranten

In den vier Quadranten ist der Verlauf der Sinusfunktion folgendermaßen:

Quadrant	Grad	Bogenmaß	Bildmenge	Monotonie	Konvexität	Punkttyp
	$0^{\circ }$	0	0			Nullstelle, Wendepunkt
1. Quadrant	$0^{\circ }<x<90^{\circ }$	$0<x<\pi /2$	positiv: $0<\sin x<1$	steigend	konkav
	$90^{\circ }$	$\pi /2$	1			Maximum
2. Quadrant	$90^{\circ }<x<180^{\circ }$	$\pi /2<x<\pi$	positiv: $0<\sin x<1$	fallend	konkav
	$180^{\circ }$	$\pi$	0			Nullstelle, Wendepunkt
3. Quadrant	$180^{\circ }<x<270^{\circ }$	$\pi <x<3\pi /2$	negativ:$-1<\sin x<0$	fallend	konvex
	$270^{\circ }$	$3\pi /2$	$-1$			Minimum
4. Quadrant	$270^{\circ }<x<360^{\circ }$	$3\pi /2<x<2\pi$	negativ: $-1<\sin x<0$	steigend	konvex

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches erhält man den Wert des Sinus daraus, dass der Sinus periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π Radiant) ist, d. h. $\sin(\alpha +360^{\circ })=\sin(\alpha )$. Außerdem gilt $\sin(\alpha +180^{\circ })=-\sin(\alpha )$.

Verlauf des Kosinus in den vier Quadranten

Der Kosinus ist ein um 90° (bzw. π/2 Radiant) phasenverschobener Sinus, es gilt $\cos(\alpha )=\sin(\alpha +90^{\circ })$.

In den vier Quadranten ist der Verlauf der Kosinusfunktion daher folgendermaßen:

Quadrant	Grad	Bogenmaß	Bildmenge	Monotonie	Konvexität	Punkttyp
	$0^{\circ }$	0	1			Maximum
1. Quadrant	$0^{\circ }<x<90^{\circ }$	$0<x<\pi /2$	positiv: $0<\cos x<1$	fallend	konkav
	$90^{\circ }$	$\pi /2$	0			Nullstelle, Wendepunkt
2. Quadrant	$90^{\circ }<x<180^{\circ }$	$\pi /2<x<\pi$	negativ: $-1<\cos x<0$	fallend	konvex
	$180^{\circ }$	$\pi$	$-1$			Minimum
3. Quadrant	$180^{\circ }<x<270^{\circ }$	$\pi <x<3\pi /2$	negativ: $-1<\cos x<0$	steigend	konvex
	$270^{\circ }$	$3\pi /2$	$0$			Nullstelle, Wendepunkt
4. Quadrant	$270^{\circ }<x<360^{\circ }$	$3\pi /2<x<2\pi$	positiv: $0<\cos x<1$	steigend	konkav

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches erhält man den Wert des Kosinus daraus, dass der Kosinus so wie der Sinus periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π Radiant) ist, d. h. $\cos(\alpha +360^{\circ })=\cos(\alpha )$. Außerdem gilt $\cos(\alpha +180^{\circ })=-\cos(\alpha )$.

Wichtige Funktionswerte

Eine Reihe einfach zu merkender und häufig verwendeter Werte:

• $\sin(0^{\circ })=\cos(90^{\circ })={\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$
• $\sin(30^{\circ })=\cos(60^{\circ })={\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}$
• $\sin(45^{\circ })=\cos(45^{\circ })={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}$
• $\sin(60^{\circ })=\cos(30^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{2}}$
• $\sin(90^{\circ })=\cos(0^{\circ })={\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$

Weitere mit Wurzeln angebbare Funktionswerte

Über die Berechnung der fünften Einheitswurzeln mittels einer quadratischen Gleichung erhält man $\sin(18^{\circ })=\cos(72^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$

Mit Hilfe der Additionstheoreme kann man viele weitere solche Ausdrücke berechnen:

$\sin(15^{\circ })$ erhält man aus ${\frac {\sqrt {3}}{2}}=\cos(30^{\circ })=\cos ^{2}(15^{\circ })-\sin ^{2}(15^{\circ })=1-2\sin ^{2}(15^{\circ })$.

Aus $\sin(18^{\circ })$ und $\sin(15^{\circ })$ lassen sich dann z. B. $\sin(3^{\circ })$ und dann rekursiv auch alle $\sin(n\cdot 3^{\circ })$ berechnen.

Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus

$\sin(\alpha )=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \left(\alpha -{\frac {\pi }{2}}\right)$

$\sin ^{2}\left(\alpha \right)+\cos ^{2}(\alpha )=1$ (Satz des Pythagoras)

Insbesondere folgt daraus $|{\sin \alpha }|\leq 1$ und $|{\cos \alpha }|\leq 1$. Diese Ungleichung gilt aber nur für reelle $\alpha$; für die über die Potenzreihe definierten komplexen Argumente können Sinus und Kosinus beliebige Werte annehmen.

Umkehrfunktion

Da sich zu einem gegebenen Wert $\sin \alpha \in [-1,1]$ ein passender Winkel im ersten oder vierten Quadranten und zu einem gegebenen Wert $\cos \alpha \in [-1,1]$ ein passender Winkel im ersten oder zweiten Quadranten konstruieren lässt, folgt aus diesen geometrischen Überlegungen, dass die Funktionen

$\sin x:[-90^{\circ },90^{\circ }]\to [-1,1]$ und

$\cos x:[0^{\circ },180^{\circ }]\to [-1,1]$

eine Umkehrfunktion besitzen. Diese Umkehrfunktionen

$\arcsin x:[-1,1]\to [-90^{\circ },90^{\circ }]$ bzw.

$\arccos x:[-1,1]\to [0^{\circ },180^{\circ }]$

werden Arkusfunktionen genannt. Der Name rührt daher, dass sich deren Wert nicht nur als Winkel, sondern auch als Bogenlänge (Arcus bedeutet Bogen) interpretieren lässt; für diese Interpretation ist die Angabe des Wertebereichs im Bogenmaß

$\arcsin x:[-1,1]\to [-\pi /2,\pi /2]$ bzw.

$\arccos x:[-1,1]\to [0,\pi ]$

üblich. Eine andere Interpretation des Wertes als doppelter Flächeninhalt des dazugehörigen Kreissektors am Einheitskreis ist ebenfalls möglich; diese Interpretation ist insbesondere für die Analgoie zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen nützlich.

Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:

$\sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$, denn für $y=\arccos(x)\!$ gilt $y\in [0,\pi ]$ und $\sin(y)={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}$.

$\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$, denn für $y=\arcsin(x)\!$ gilt $y\in [-\pi /2,\pi /2]$ und $\cos(y)={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}$.

$\sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$, denn für $y=\arctan(x)\!$ gilt $y\in \left]-\pi /2,\pi /2\right[$ und $\sin(y)={\frac {\tan y}{\sqrt {1+\tan ^{2}y}}}$.

$\cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$, denn für $y=\arctan(x)\!$ gilt $y\in \left]-\pi /2,\pi /2\right[$ und $\cos(y)={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}y}}}$.

Stetigkeit

Da die Sinusfunktion

$\sin x:[-90^{\circ },90^{\circ }]\to [-1,1]$

und die Kosinusfunktion

$\cos x:[0^{\circ },180^{\circ }]\to [-1,1]$

monoton, surjektiv und invertierbar sind, folgt, dass sie in diesen Quadranten stetig sind. Da die Funktionen in den anderen Quadranten lediglich gespiegelt bzw. periodisch fortgesetzt sind, sind die Sinus- und Kosinusfunktion für alle reellen Argumente stetig.

Zusammenhang mit dem Skalarprodukt

Der Kosinus steht in enger Beziehung mit dem Skalarprodukt zweier Vektoren ${\vec {a}}=\left(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\right)$ und ${\vec {b}}=\left(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\right)$:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \cos \angle ({\vec {a}},{\vec {b}})={a_{1}}{b_{1}}+{a_{2}}{b_{2}}+\dots +{a_{n}}{b_{n}}$,

das Skalarprodukt ist also die Länge der Vektoren multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. In endlichdimensionalen Räumen lässt sich diese Beziehung aus dem Kosinussatz ableiten. In abstrakten Vektorräumen mit innerem Produkt wird über diese Beziehung der Winkel zwischen Vektoren definiert.

Additionstheoreme

Aus dem Skalarprodukt lassen sich die sogenannten Additionstheoreme herleiten:

Die Vektoren ${\vec {a}}=\left(\cos \alpha ,\sin \alpha \right)$ und ${\vec {b}}_{1}=\left(\cos \beta ,\sin \beta \right)$ der Länge 1 schließen den Winkel $\alpha -\beta$ ein; mit dem Skalarprodukt folgt also

$\cos \left(\alpha -\beta \right)={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{1}=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$.

Die Vektoren ${\vec {a}}=\left(\cos \alpha ,\sin \alpha \right)$ und ${\vec {b}}_{2}=\left(\cos \beta ,-\sin \beta \right)$ der Länge 1 schließen den Winkel $\alpha +\beta$ ein; mit dem Skalarprodukt folgt also

$\cos \left(\alpha +\beta \right)={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{2}=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$.

Aus $\sin \alpha =\cos \left(\alpha -90^{\circ }\right)$ und $\sin \left(\alpha -90^{\circ }\right)=\cos \left(\alpha -180^{\circ }\right)=-\cos \alpha$erhält man die Additionstheoreme für den Sinus:

$\sin \left(\alpha +\beta \right)=\cos \left(\alpha -90^{\circ }+\beta \right)=\cos \left(\alpha -90^{\circ }\right)\cos \beta -\sin \left(\alpha -90^{\circ }\right)\sin \beta =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

sowie

$\sin \left(\alpha -\beta \right)=\cos \left(\alpha -90^{\circ }-\beta \right)=\cos \left(\alpha -90^{\circ }\right)\cos \beta +\sin \left(\alpha -90^{\circ }\right)\sin \beta =\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$.

Setzt man in diesen Beziehungen $u=\alpha +\beta$ und $v=\alpha -\beta$ (beziehungsweise $\alpha ={\frac {u+v}{2}}$ und$\beta ={\frac {u-v}{2}}$), so erhält man durch Addition bzw. Subtraktion je zweier Additionstheoreme

$\cos u+\cos v=2\cos {\frac {u+v}{2}}\cos {\frac {u-v}{2}}$,

$\cos u-\cos v=-2\sin {\frac {u+v}{2}}\sin {\frac {u-v}{2}}$,

$\sin u+\sin v=2\sin {\frac {u+v}{2}}\cos {\frac {u-v}{2}}$ und

$\sin u-\sin v=2\cos {\frac {u+v}{2}}\sin {\frac {u-v}{2}}$.

Weitere Identitäten finden sich in der Formelsammlung Trigonometrie.

Ableitung (Differentiation) und Integration von Sinus und Kosinus

Nachfolgend wird eine geometrische Berechnung der Ableitung der Sinusfunktion dargestellt. Eine exakte Berechnung mit Methoden der Analysis ist nicht möglich, da Sinus und Kosinus bisher nur geometrisch und nicht analytisch definiert sind.

Berechnung der ersten Ableitung

Berechnung der Ableitung mit Bogenlänge

Der Nachweis wird mit Hilfe des Einheitskreises erbracht, wobei der Winkel zweckmäßigerweise im Bogenmaß angegeben wird.

Ableitung Sinus

Aus der Skizze kann man folgende Zusammenhänge erkennen.

x ist das Bogenmaß zum Sinuswert. Im Einheitskreis ist

$y\ =\sin(x)$

Ändert sich der Bogen x um das Maß dx, so ergibt sich auch das Maß dy. Denkt man sich dx gegen Null gehend, so ergeben sich zwei ähnliche Dreiecke ABC und EDC. Setzt man diese ins Verhältnis so erhält man die Verhältnisgleichung

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\overline {AB}}{1}}$

Da die Strecke

${\overline {AB}}=\cos(x)$

ist und

$y^{\prime }={\frac {dy}{dx}}$

die Ableitung ist, ergibt sich als Lösung

$y^{\prime }=\cos(x)$.

Berechnung der Ableitung mit Flächen

Obige Berechnung der Ableitung beruht auf dem nicht elementaren Begriff der Bogenlänge; es ist nicht so einfach zu zeigen, dass die Länge des Kreisbogens $EC$ einfach durch die Länge der Sehne $EC$ angenährt werden darf. Eine andere Berechnung der Ableitung der Sinusfunktion, die auf Flächenüberlegungen beruht, vermeidet dieses Problem. Für diesen Zugang interpretiert man den Winkel als doppelten Flächeninhalt des dazugehörigen Sektors am Einheitskreis, analog zu den Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen. Numerisch ist das zwar der selbe Wert wie das Bogenmaß, diese Interpretation vermeidet aber die Problematik der Bogenlänge.

Zunächst folgt aus $\sin x-\sin y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}$, dass

${\frac {\sin(x+h)-\sin(x)}{h}}=\cos(x+h/2){\frac {\sin(h/2)}{h/2}}$,

also wegen der Stetigkeit der Kosinusfunktion

$\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin(x)}{h}}=\cos(x)\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h/2)}{h/2}}$,

es reicht also, den Grenzwert

$\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}$

zu berechnen.

sin x < x < tan x

Betrachtet man in nebenstehender Abbildung die Punkte $O(0,0),A(1,0),B(1,\tan x),C(\cos x,0)\!$ und $D(\cos x,\sin x)\!$ und ist $x$ in Bogenmaß gegeben, so hat das Dreieck $OCD$ (rote Fläche) den Flächeninhalt ${\frac {\sin x\cos x}{2}}$, der Kreissektor $OAD$ (rote plus orange Fläche) den Flächeninhalt ${\frac {x}{2}}$, und das Dreieck $OAB$ (rote plus orange plus gelbe Fläche) den Flächeninhalt ${\frac {\tan x}{2}}$. Da eine Fläche jeweils die vorige umfasst, gilt erstens

${\frac {x}{2}}\geq {\frac {\sin x\cos x}{2}}={\frac {\sin 2x}{4}}$, also $1\geq {\frac {\sin 2x}{2x}}$,

und zweitens

${\frac {x}{2}}\leq {\frac {\tan x}{2}}={\frac {\sin x}{2\cos x}}$, also $\cos x\leq {\frac {\sin x}{x}}$,

insgesamt also

$\cos h\leq {\frac {\sin h}{h}}\leq 1$

und daher

$\lim _{h\to 0}{\frac {\sin h}{h}}=1$.

Für die Ableitung der Sinusfunktion ergibt das

${\frac {{\rm {d}}\sin x}{{\rm {d}}x}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin(x)}{h}}=\cos x$.

Berechnung der Ableitung aus den Additionstheoremen

Leopold Vietoris hat im September 1956 auf dem vierten österreichischen Mathematikerkongress in Wien eine Berechnung der Ableitung der Sinusfunktion vorgestellt, die im Wesentlichen nur die Additionstheoreme und Monotonie und Stetigkeit der Sinus- und Kosinusfunktion benötigt. Sei $\alpha$ ein Winkel mit $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$. Dann folgt aus mehrmaliger Anwendung der Additionstheoreme

$\sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}=2^{n}\sin {\frac {\alpha }{2^{n}}}\prod _{j=1}^{n}\cos {\frac {\alpha }{2^{j}}}$.

Setzt man

$p_{n}(\alpha ):=\prod _{j=1}^{n}\cos {\frac {\alpha }{2^{j}}}$,

$q_{n}(\alpha ):=2^{n}\sin {\frac {\alpha }{2^{n}}}$ und

$r_{n}(\alpha ):=p_{n}(\alpha )\cos {\frac {\alpha }{2^{n}}}$,

so lässt sich leicht zeigen, dass

$r_{n}(\alpha )<r_{n+1}(\alpha )<p_{n+1}(\alpha )<p_{n}(\alpha )\,$

gilt. Daher konvergiert die Folge $p_{n}\left(\alpha \right)$, und für den Grenzwert $p(\alpha ):=\lim _{n\to \infty }p_{n}(\alpha )$ gilt

$0<\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}=r_{1}(\alpha )<p(\alpha )<1$.

Die Folge $q_{n}\left(\alpha \right)$ konvergiert somit ebenfalls und der Grenzwert $q(\alpha ):=\lim _{n\to \infty }q_{n}(\alpha )$ erfüllt $q\left(\alpha \right)>0$ und $\sin \alpha =p\left(\alpha \right)q\left(\alpha \right)$. Aus der Stetigkeit der Kosinusfunktion bei $\alpha =0^{\circ }$ folgt, dass $q\left(\alpha \right)$ der Cauchyschen Funktionalgleichung genügt:

$q(\alpha +\beta )=\lim _{n\to \infty }\left(2^{n}\sin {\frac {\alpha +\beta }{2^{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }\left(2^{n}\sin {\frac {\alpha }{2^{n}}}\cos {\frac {\beta }{2^{n}}}+2^{n}\sin {\frac {\beta }{2^{n}}}\cos {\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)=q(\alpha )+q(\beta )$

Da $q_{n}\left(\alpha \right)$ monoton steigend ist, ist $q\left(\alpha \right)$ ebenfalls monoton steigend und hat daher als monotone Lösung der Cauchyschen Funktionalgleichung notwendigerweise die Form

$q\left(\alpha \right)=c\alpha$,

wobei $c\!$ eine Konstante $>0$ ist. Es gilt also ${\frac {\sin \alpha }{\alpha }}=cp(\alpha )$. Aus $\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}<p(\alpha )<1$ folgt $\lim _{\alpha \to 0+}p(\alpha )=1$ und daher

$\lim _{\alpha \to 0+}{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}=\lim _{\alpha \to 0-}{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}=c$

weil die Sinusfunktion ungerade ist. Daraus folgt

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}\sin \alpha =c\cos \alpha$.

Welche Bedeutung hat nun die durch den Grenzwert

$c\alpha =\lim _{n\to \infty }\left(2^{n}\sin {\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)$

definierte Konstante $c\!$? Wie sich geometrisch zeigen lässt, ist

$U_{n}:=2^{n+1}\sin {\frac {180^{\circ }}{2^{n}}}$

der Umfang des dem Einheitskreis eingeschriebenen regelmäßigen $2^{n}$-Ecks und

$A_{n}:=2^{n-1}\sin {\frac {180^{\circ }}{2^{n-1}}}$

der Flächeninhalt. Analytisch wurde bereits gezeigt, dass diese Folgen konvergieren; geometrisch anschaulich sind die Grenzwerte Umfang bzw. Fläche des Einheitskreises. Mit der geometrischen Definition der Kreiszahl $\pi$ gilt also

$\lim _{n\to \infty }U_{n}=2\pi$ sowie

$\lim _{n\to \infty }A_{n}=\pi$.

Es gilt also

$c={\frac {\pi }{180^{\circ }}}$.

Dieser Grenzwert lässt sich als analytische Definition von $\pi$ verwenden, wobei zu beachten ist, dass die dabei verwendete Folge die genaue Kenntnis der Sinusfunktion nicht voraussetzt, da sie wegen

$\sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}\right)}}$

mit einer einfachen Rekursionsformel darstellbar ist.

Definiert man das Winkelmaß so, dass dem gestreckten Winkel $\alpha =180^{\circ }$ der Wert $x=\pi$ entspricht, misst man also im Bogenmaß, so gilt für den Sinus

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sin x=\cos x$.

Höhere Ableitungen

Aus $\cos(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$ und der Kettenregel erhält man die Ableitung des Kosinus:

$\cos ^{\prime }(x)=-\sin(x)$

und daraus die zweite Ableitung des Sinus:

$\sin ^{\prime \prime }(x)=-\sin(x)$.

Die dritte Ableitung ist daher

$\sin ^{\prime \prime \prime }(x)=-\cos(x)$.

und die vierte Ableitung ist wieder die Sinusfunktion selbst:

$\sin ^{\prime \prime \prime \prime }(x)=\sin(x)$.

In weiterer Folge erhält man daraus für die $4n+k$-te Ableitung des Sinus

$\sin ^{(4n+k)}(x)=\left\{{\begin{matrix}\sin(x)&{\mbox{wenn }}k=0\\\cos(x)&{\mbox{wenn }}k=1\\-\sin(x)&{\mbox{wenn }}k=2\\-\cos(x)&{\mbox{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.$

und für die $4n+k$-te Ableitung des Kosinus

$\cos ^{(4n+k)}(x)=\left\{{\begin{matrix}\cos(x)&{\mbox{wenn }}k=0\\-\sin(x)&{\mbox{wenn }}k=1\\-\cos(x)&{\mbox{wenn }}k=2\\\sin(x)&{\mbox{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.$

Diese Beziehung gilt nur, wenn $x$ im Bogenmaß angegeben wird. Wird der Winkel $\alpha$ in Grad gemessen, so kommt nach der Kettenregel bei jeder Ableitung ein Faktor ${\frac {\pi }{180}}$ dazu, also beispielsweise $\sin ^{\prime }(\alpha )={\frac {\pi }{180}}\cos(\alpha )$. Um diese störenden Faktoren zu vermeiden, wird in der Analysis der Winkel ausschließlich im Bogenmaß angegeben; die Angabe von Winkel in Grad ist allerdings anschaulicher und daher bei geometrischen Überlegungen zweckmäßiger.

Integration

Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich unmittelbar die Stammfunktion von Sinus und Kosinus im Bogenmaß:

$\int \sin(\alpha )\,{\rm {d}}\alpha =-\cos(\alpha )+C,$

$\int \cos(\alpha )\,{\rm {d}}\alpha =\sin(\alpha )+C$.

Analytische Definition

Obige Definitionen des Sinus und des Kosinus beinhalten geometrische Überlegungen. Geometrie wird üblicherweise naiv-intuitiv und nicht auf axiomatischer Basis behandelt. Sinus und Kosinus spielen auch eine wichtige Rolle in der Analysis, in der aber ein viel formalerer Zugang zweckmäßig ist. Daher sind die geometrischen Definitionen für die Analysis nicht ausreichend, und es wird eine analytische Definition benötigt. Auf Basis einer streng formalisierten Geometrie lässt sich die Äquivalenz der geometrischen und der analytischen Definition zeigen; auf Basis einer naiven Geometrie sind die geometrischen Überlegungen allerdings lediglich als Heuristik zur Begründung der analytischen Definition zu betrachten.

Die analytische Definition erlaubt zusätzlich die Erweiterung auf komplexe Argumente. Sinus und Kosinus als komplexwertige Funktion aufgefasst sind holomorph und surjektiv.

Für die analytische Definition gibt es in der Literatur keinen einheitlichen Zugang; es sind mehrere äquivalente Varianten verbreitet.

Definition als Taylorreihe

Mit Hilfe der aus geometrischen Überlegungen berechneten Ableitung des Sinus gilt für die $4n+k$-te Ableitung an der Stelle 0

$\sin ^{(4n+k)}(0)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{wenn }}k=0\\1&{\mbox{wenn }}k=1\\0&{\mbox{wenn }}k=2\\-1&{\mbox{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.$

Daraus ergibt sich folgende Taylorreihenentwicklung um x=0:

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}={\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots =x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}-\cdots$

Für die aus geometrischen Überlegungen berechneten Ableitung des Kosinus gilt für die $4n+k$-te Ableitung an der Stelle 0

$\cos ^{(4n+k)}(0)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{wenn }}k=0\\0&{\mbox{wenn }}k=1\\-1&{\mbox{wenn }}k=2\\0&{\mbox{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.$

Daraus ergibt sich folgende Taylorreihenentwicklung um x=0:

$\cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-\cdots$

Mit dem Quotientenkriterium lässt sich zeigen, dass diese Potenzreihen für jede komplexe Zahl x absolut und in jeder beschränkten Teilmenge der komplexen Zahlen gleichmäßig konvergieren. Diese unendlichen Reihen verallgemeinern also die Definition des Sinus und des Kosinus von reellen auf komplexe Argumente. In der Analysis werden die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion häufig mittels dieser Reihenentwicklung definiert. Auch $\pi$ wird in der Analysis üblicherweise nicht geometrisch, sondern beispielsweise über diese Reihe und die Beziehung $\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)=0$ als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion defniert.

Für kleine Werte zeigen diese Reihen ein sehr gutes Konvergenzverhalten. Zur numerischen Berechnung kann man daher die Periodizität und Symmetrie der Funktionen ausnutzen und den x-Wert bis auf den Bereich -π/4 bis π/4 reduzieren (siehe Reduktionsformel). Danach sind für eine geforderte Genauigkeit nur noch wenige Glieder der Reihe zu berechnen. Das Taylorpolynom der Kosinusfunktion bis zur vierten Potenz z.B. hat im Intervall [-π/4, π/4] einen relativen Fehler von unter 0,05%. Im Artikel Taylor-Formel sind einige dieser so genannten Taylorpolynome grafisch dargestellt und eine Näherungsformel mit Genauigkeitsangabe angegeben. Zu beachten ist allerdings, dass die Teilsummen der Taylorpolynome nicht die bestmögliche numerische Approximation darstellen; im "Handbook of Mathematical Functions" von Abrahmovitz und Stegun finden sich Näherungspolynome mit noch kleinerem Approximationsfehler.

Definition mit Hilfe der Exponentialfunktion

Die trigonometrischen Funktionen können auch mit Hilfe der Exponentialfunktion definiert werden. Dieser Ansatz führt zum einen Sinus und Kosinus auf nur eine Reihe zurück, und ist aus der Eulerformel

$e^{i\varphi }=\cos \left(\varphi \right)+i\sin \left(\varphi \right)$.

motiviert. Für eine reelle Zahl $\varphi$ ist also $\cos \left(\varphi \right)$ der Realteil von $e^{i\varphi }$ und $\sin \left(\varphi \right)$ der Imaginärteil von $e^{i\varphi }$.

Für beliebige komplexe Zahlen $z$ definiert man dann

$\sin z={1 \over 2i}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)$

und

$\cos z={1 \over 2}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)$

Selbstverständlich kann man auch den Sinus wie oben als Taylorreihe definieren und dann die Übereinstimmung mit dieser Definition zeigen.

Ausgehend von dieser Definition lassen sich sehr leicht die Eigenschaften des Sinus und die Additionstheoreme des Sinus und Kosinus nachweisen.

Definition über analytische Berechnung der Bogenlänge

Die Definition des Sinus und Kosinus als Taylorreihe liefert keinen analytischen Beweis der Differenzierbarkeit des Sinus und Kosinus, sondern setzt die Differenzierbarkeit letztlich axiomatisch voraus. Die Definition mit Hilfe der Exponentialfunktion hat das selbe Problem, versteckt es allerdings im Beweis der Eulerformel.

Ein echter analytischer Beweis der Differenzierbarkeit des Sinus und Kosinus erfordert, dass die geometrische Definition des Sinus und Kosinus zuerst analytisch formalisiert wird. Dies ist möglich, indem man den Einheitskreis $x^{2}+y^{2}=1\!$ beispielsweise als

$\gamma (t)=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right),\quad -\infty <t<\infty .$

parametrisiert. Die Bogenlänge dieser Kurve berechnet sich als

$s(t)=\int _{0}^{t}|{\dot {\gamma }}(\tau )|\,\mathrm {d} \tau =\int _{0}^{t}{\frac {2\,\mathrm {d} \tau }{\tau ^{2}+1}}.$

Wie leicht zu zeigen ist, ist $s(t)\!$ ungerade, stetig, streng monoton wachsend und beschränkt. Da die gesamte Bogenlänge dem Kreisumfang entspricht, folgt, dass das Supremum von $s(t)\!$ gleich $\pi \!$ ist; $\pi \!$ wird bei dieser Vorgangsweise also analytisch als Supremum von $s(t)\!$ definiert.

Die Funktion

$s(t):\mathbb {R} \to (-\pi ,\pi )$

ist auch differenzierbar:

${\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {2}{1+t^{2}}}$.

Weil sie stetig und streng monoton wachsend ist, ist sie auch invertierbar, und für die Umkehrfunktion

$t(s):(-\pi ,\pi )\to \mathbb {R}$

gilt

${\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} s}}={\frac {1+t^{2}(s)}{2}}$.

Mit Hilfe dieser Umkehrfunktion $t(s)\!$ lassen sich nun Sinus und Kosinus als $y\!$- und $x\!$-Komponente von $\gamma \!$ analytisch definieren:

$\sin s:={\frac {2t(s)}{1+t^{2}(s)}}$

sowie

$\cos s:={\frac {1-t^{2}(s)}{1+t^{2}(s)}}$.

Aus der Quotientenregel und der Kettenregel folgen dann

${\frac {\mathrm {d} \sin s}{\mathrm {d} s}}={\frac {2\left(1+t^{2}(s)\right)-4t^{2}(s)}{\left(1+t^{2}(s)\right)^{2}}}\cdot {\frac {1+t^{2}(s)}{2}}={\frac {1-t^{2}(s)}{1+t^{2}(s)}}=\cos s$

sowie

${\frac {\mathrm {d} \cos s}{\mathrm {d} s}}={\frac {-2t(s)\left(1+t^{2}(s)\right)-2t(s)\left(1-t^{2}(s)\right)}{\left(1+t^{2}(s)\right)^{2}}}\cdot {\frac {1+t^{2}(s)}{2}}={\frac {-2t(s)}{1+t^{2}(s)}}=-\sin s$.

Bei dieser Definition des Sinus und Kosinus über die analytische Berechnung der Bogenlänge werden die geometrischen Begriffe tatsächlich sauber formalisiert. Sie hat allerdings den Nachteil, dass im didaktischen Aufbau der Analysis der Begriff der Bogenlänge erst sehr spät formal eingeführt wird und daher Sinus und Kosinus erst relativ spät verwendet werden können.

Definition als Lösung einer Funktionalgleichung

Eine anderer analytischer Zugang ist, Sinus und Kosinus als Lösung einer Funktionalgleichung zu definieren, die im Wesentlichen aus den Additionstheoremen besteht: Gesucht ist ein Paar stetiger Funktionen $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, das für alle $x,y\in \mathbb {R}$ die Gleichungen

$f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)\!$ und

$g(x+y)=g(x)g(y)-f(x)f(y)\!$

erfüllt. Die Lösung $f\!$ definiert dann den Sinus, die Lösung $g\!$ den Kosinus. Um Eindeutigkeit zu erreichen, sind einige Zusatzbedingungen zu erfüllen. In Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1 wird zusätzlich gefordert, dass

$f(x)\!$ eine ungerade Funktion,

$g(x)\!$ eine gerade Funktion,

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$, und

$\cos 0=1\!$

gilt. Bei diesem Zugang wird offensichtlich die Differenzierbarkeit des Sinus vorausgesetzt; $\pi \!$ wird in weiterer Folge analytisch als das doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus definiert. Verwendet man den oben beschriebenen Zugang von Leopold Vietoris und berechnet die Ableitung des Sinus aus den Additionstheoremen, so ist es zweckmäßiger, $\pi \!$ auf geeigente Weise analytisch (beispielsweise als Hälfte des Grenzwerts des Umfangs des dem Einheitskreis engeschriebenen $2^{n}\!$-Ecks) zu definieren und dann die Differenzierbarkeit der Lösung dieser Funktionalgleichung zu beweisen. Als Zusatzbedingung zu den Additionstheoremen fordert man dann beispielsweise

$f\left({\frac {\pi }{2}}\right)=1$,

$g\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0$, und

$g\left({\frac {\pi }{2n}}\right)\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N} \backslash \lbrace 1\rbrace$.

Unter den getroffenen Voraussetzungen ist die Eindeutigkeit der Lösung der Funktionalgleichung relativ einfach zu zeigen; die geometrisch definierten Funktionen Sinus und Kosinus lösen auch offensichtlich die Funktionalgleichung. Die Existenz einer Lösung lässt sich analytisch beispielsweise nachweisen, indem man zeigt, dass die Talyorreihen von Sinus und Kosinus oder eine andere der oben verwendeten analytischen Darstellungen von Sinus und Kosinus die Funktionalgleichung tatsächlich lösen.

Produktentwicklung

$\sin(x)=x\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\pi ^{2}}}\right)$

$\cos(x)=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right)$

Anwendungen

Geometrische Anwendungen

Skizze zum Beispiel

Mit der Definition des Sinus können auch im nicht rechtwinkligen Dreieck Größen, speziell die Höhen, berechnet werden; ein Beispiel ist die Berechnung von $h_{c}$ im Dreieck DBC bei gegebener Länge $a$ und Winkel β:

${\frac {h_{c}}{a}}=\sin(\beta )$

$h_{c}=a\cdot \sin(\beta )$

$h_{c}=5,\!4~{\rm {[LE]}}\cdot \sin(44^{\circ })=3,\!751~{\rm {[LE]}}$

Andere wichtige Anwendungen sind der Sinussatz und der Kosinussatz.

Fourierreihen

Im Hilbertraum $L^{2}[-\pi ,\pi ]\!$ der auf dem Intervall $[-\pi ,\pi ]\!$ bezüglich des Lebesgue-Maßes quadratisch integrierbaren Funktionen bilden die Funktionen

$1,\cos nx,\sin nx\quad n=1,2,\dots$

ein vollständiges Orthogonalsystem, das sogenannte trigonometrische System. Daher lassen sich alle Funktionen $f\in L^{2}[-\pi ,\pi ]$ als Fourierreihe

$S_{n}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cos nx+b_{k}\sin nx)$

darstellen, wobei die Funktionenfolge $S_{n}(x)\!$ in der $L^{2}$-Norm gegen $f(x)\!$ konvergiert.

Physikalische Anwendungen

In der Physik werden Sinus- und Kosinusfunktion zur Beschreibung von Schwingungen verwendet. Insbesondere lassen sich durch die oben erwähnten Fourierreihen beliebige Signale als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen, siehe Fourieranalyse.

Herkunft des Namens

Die Bezeichnung "Sinus" leitet sich von dem lateinischen "sinus" ab, was soviel heißt wie "Bogen" oder "Busen". Das Wort ist mit "jiva" aus dem Sanskrit verwandt, wo es etwa "Bogensehne" bedeutet. Im Arabischen entwickelte sich das Wort zu "jiba": "Tasche" oder "Kleiderfalte". "Kosinus" bedeutet "Sinus des Komplementärwinkels".

Weitere Bedeutung

• Kosinus ist auch eine Comicfigur einer deutschen Computerzeitschrift.
• SINUS ist auch das Akronym für die Weiterbildungsinitiative zur Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts [URL: http://blk.mat.uni-bayreuth.de/indexblk.html bzw. http://www.sinus-transfer.de/]

Siehe auch

• Zusammenhang mit den Hyperbelfunktionen
• Sinussatz
• Kosinussatz
• Sinuston

Literatur

• Leopold Vietoris, Vom Grenzwert $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}$. Elemente Math. 12 (1957).

Weblinks

• Java Applet "Dreieck und Sinussatz" zur Veranschaulichung
• Näherungspolynome für Sinus und Kosinus (4.3.96-4.3.99 in Abramowitz and Stegun)