Logarithmus

Graph des Logarithmus zur Basis 2, e und 1/2

In der Mathematik ist die Logarithmusfunktion (griech.: logos = Verständnis, arithmos = Zahl) die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion; sie dient zum Auflösen der Gleichung

$y=a^{x}$

nach der Unbekannten x:

$x=\log _{a}(y)$.

Für jede vorgegebene Basis (oder Grundzahl) $a>0,\,a\neq 1$ ergibt sich dabei eine andere Logarithmusfunktion $\log _{a}$. Den Funktionswert $\log _{a}(y)$ nennt man den Logarithmus von y zur Basis a. Das Argument y heißt Logarithmand, gelegentlich auch Numerus.

Der Logarithmus (zur Basis a) einer Zahl y ist also derjenige Exponent x, mit dem man die Basis a potenzieren muss, um die Zahl y zu erhalten.

Im Sprachgebrauch wird häufig die Logarithmusfunktion selbst auch kurz als Logarithmus bezeichnet.

Der Logarithmus als Umkehrfunktion des Potenzierens

Die Funktionen a^x und log_a(x) sind Umkehrfunktionen voneinander, d. h. Logarithmieren macht Potenzieren rückgängig und umgekehrt:

$a^{{\rm {log}}_{a}x}=x\ {\mbox{und}}\ {\rm {log}}_{a}(a^{x})=x$

Der Logarithmus als Größenmaßstab

Der Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus) ist im Dezimalsystem ein Maß für die Größenordnung einer Zahl, denn die Ungleichung

${10}^{k}\leq x<{10}^{k+1}$

ist gleichwertig mit

$k\leq \log _{10}(x)<k+1$.

Gelten diese Ungleichungen für eine ganze Zahl $k$, so besitzt die reelle Zahl $x$ in ihrer Dezimalbruchentwicklung gerade $k+1$ Stellen vor dem Komma (für $k\geq 0$) bzw. beginnt bei der $|k|$-ten Stelle nach dem Komma (für $k<0$).

.

Logarithmengesetze

Logarithmen von Produkten

Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht eine hilfreiche Rechenregel zur Verfügung:

$\log _{a}(x\cdot y)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)$

Oder allgemeiner:

$\log _{a}\left(x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)=\log _{a}\left(x_{1}\right)+\log _{a}\left(x_{2}\right)+\cdots +\log _{a}\left(x_{n}\right)$

$\log _{a}\left(\prod _{i=1}^{N}x_{i}\right)=\sum _{i=1}^{N}\log _{a}\left(x_{i}\right)$

Für Potenzen mit reellem Exponent $r$ gilt die Regel:

$\log _{a}\left(x^{r}\right)=r\cdot \log _{a}(x)$

Diese Rechenregeln lassen sich von den Potenzgesetzen ableiten. (siehe auch weiter unten)

Logarithmen von Quotienten

Diese leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall angegeben:

$\log _{a}{\bigg (}{\frac {x}{y}}{\bigg )}=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$

Logarithmen von Wurzeln

Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus folgende Rechenregel:

$\log _{a}\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)=\log _{a}\left(x^{\frac {1}{n}}\right)={\frac {\log _{a}(x)}{n}}$

Der Logarithmus als Rechenhilfe

Im Normalfall tauchen beim Logarithmieren auch Nachkommastellen auf, die Mantisse genannt werden. So ist log₁₀(3) ≈ 0,47712. Multipliziert man eine Zahl mit der Basis, ändert sich zwar die Kennzahl, nicht aber die Mantisse, es ist also log₁₀(3*10) = log₁₀(30) ≈ 1,47712. Bevor elektronische Rechenmaschinen zur Verfügung standen, nutzte man dies aus, um Multiplikationen zu Additionen und Divisionen zu Subtraktionen zu vereinfachen. Als Hilfsmittel verwendete man hierzu oftmals Rechenstäbe (John Napier) oder Logarithmentafeln. Siehe dazu die ersten beiden Rechenregeln am Ende des Artikels.

Natürlicher Logarithmus und andere spezielle Logarithmen

Der Logarithmus zur Basis e (der Eulerschen Zahl) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit „ln“ oder einfach „log“ (ohne Subskript) abgekürzt:

Wenn y = e^x dann ist x = log_e(y) = ln(y).

Die Zahl e ist z.B. dadurch ausgezeichnet (und könnte auch so definiert werden), dass die Exponentialfunktion $e^{x}$ sich bei Ableitung wieder selbst reproduziert, als Formel:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

Der Begriff natürlicher Logarithmus wurde gewählt, weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis e in vielen Zusammenhängen (Integralrechnung, Differentialrechnung, Komplexe Zahlen, Trigonometrie) auftreten. Zudem lässt sich der natürliche Logarithmus sehr einfach Integrieren und Differenzieren.

Der Logarithmus zur Basis 10 wird oft mit „lg“ abgekürzt; er heißt dekadischer Logarithmus oder auch Briggscher Logarithmus, benannt nach dem Mathematiker Henry Briggs.

Der Logarithmus zur Basis 2 – abgekürzt mit „lb“ oder „ld“ – heißt binärer, dualer oder dyadischer Logarithmus.

Abkürzungen

• log_a: allgemeiner Logarithmus mit der beliebigen Basis a (Hinweis: In den meisten Programmiersprachen wird mit log() der natürliche Logarithmus berechnet, manche Taschenrechner berechnen allerdings mit log den dekadischen Logarithmus.)
• ln = log_e: Natürlicher Logarithmus zur Basis e (Logarithmus naturalis)
• lg = log₁₀: Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus)
• lb = ld = log₂: Logarithmus zur Basis 2, binärer Logarithmus, dualer Logarithmus, Zweierlogarithmus

Berechnung des Logarithmus, Potenzreihe

Die Potenzreihenentwicklung

$\ln(1+x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{k+1}}{k+1}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}\pm \cdots ,\qquad -1<x\leq 1$

des natürlichen Logarithmus um den Entwicklungspunkt 1 konvergiert nicht sonderlich schnell.

Zur Berechnung verwendet man besser folgende Reihendarstellung, die auf der Potenzreihenentwicklung des Areatangens Hyperbolicus beruht:

$\ln(x)=2\cdot \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{2k+1}}\cdot \left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2k+1}+\;R_{n+1}(x),\qquad x>0$

mit der Restgliedabschätzung

$|R_{n+1}(x)|\leq {\frac {(x-1)^{2}}{2\,|x|}}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2n}.$

Die Reihe zeigt für x und 1/x ähnliches Konvergenzverhalten und konvergiert um so besser, je näher x bei 1 liegt. Um dies zu erreichen, verwendet man

$\ln(x)=m\ln(2)+\ln(2^{-m}x).\quad$

Durch Wahl einer geeigneten ganzen Zahl m kann man immer erreichen, dass gilt $1/{\sqrt {2}}\leq 2^{-m}x\leq {\sqrt {2}}$ und erhöht damit die Konvergenzgeschwindigkeit der Reihe, die man jetzt für $\left(2^{-m}\right)\cdot x$ berechnet. Allerdings braucht man dann auch eine gute Näherung für ln 2.

Für den natürlichen Logarithmus gilt zudem:

$\ln(x)=\lim _{n\to \infty }n\,\left(\!{\sqrt[{n}]{x}}-1\right)$

sowie

$\ln(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}.$

Für eine praktische Berechnung von ln x sind die beiden letzten Formeln jedoch nicht sonderlich geeignet.

Der Logarithmus von Null und den negativen Zahlen

In den reellen Zahlen ist der Logarithmus für Null und negative Zahlen nicht definiert.

Begründungen:

• x = log_a(0) müsste dann 0 = a^x bedeuten. Was aber nicht der Fall ist, wenn a ungleich Null ist.
• (als Beispiel die negative Zahl -1) x = log_a(-1) müsste dann -1 = a^x bedeuten. Was aber nicht sein kann, wenn a größer Null ist.

In der Funktionentheorie, in der Funktionen von komplexen Zahlen betrachtet werden, kann man den Logarithmus auch für negative Zahlen definieren (siehe Komplexer Logarithmus), allerdings gelten dann einige der Rechenregeln nicht mehr.

Eigenschaften des Logarithmus

• Definitionsmenge: s. oben ($D=]0,\infty [$)
• Wertemenge: alle reellen Zahlen
• Nullstellen bzw. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: {1} bzw. (1|0)
• Gebräuchliche Limites / Verhalten im Unendlichen:
  • $\lim _{x\to 0}\log _{b}(x)=-\infty$ (wenn b > 1) bzw. (+)$\infty$ (wenn b < 1)
  • $\lim _{x\to \infty }\log _{b}(x)=\infty$ (wenn b > 1) bzw. $-\infty$ (wenn b < 1)
• Erste Ableitung: $\log _{b}(x)'={\frac {1}{\operatorname {ln} \,b\cdot x}}$
• Extrempunkte: keine
• Wendepunkte: keine

Basisumrechnung

Man kann Logarithmen zu einer Basis a in Logarithmen zu einer anderen Basis b umrechen:

$\log _{b}(r)={\frac {\log _{a}(r)}{\log _{a}(b)}}$

oder in der suggestiven „Kürzungsform“:

$\log _{a}(b)\cdot \log _{b}(r)=\log _{a}(r).$

Denn:

$a^{\log _{a}(b)\cdot \log _{b}(r)}=(a^{\log _{a}(b)})^{\log _{b}(r)}=b^{\log _{b}(r)}=r=a^{\log _{a}(r)}.$

Tabellenwerke oder Taschenrechner stellen i. A. Logarithmen zur Basis 10 und natürliche Logarithmen zur Verfügung. Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.

Beispiel

$\log _{10}(8)={\frac {\log _{2}(8)}{\log _{2}(10)}}\approx {\frac {3}{3{,}32}}\approx 0{,}90$

Alternative mit Hilfe des ln:

$\log _{10}(8)={\frac {\ln(8)}{\ln(10)}}\approx 0{,}90$

Programmiersprachen

In vielen Programmiersprachen (z.B. C, C++, BASIC, PHP) heißt die Funktion für den Natürlichen Logarithmus log. In FORTRAN heißt der Natürliche Logarithmus alog.

Rechenregeln mit Beispiel

Die Rechenregeln lassen sich mit Hilfe der Potenzgesetze begründen. (Hier klicken für die Herleitung der Rechenregel für Produkte)

Rechenregel	Beispiel
$\log _{b}(u\cdot v)=\log _{b}(u)+\log _{b}(v)$	$\log _{10}(10\cdot 100)=\log _{10}(10)+\log _{10}(100)=1+2=3$
$\log _{b}\left({\frac {u}{v}}\right)=\log _{b}(u)-\log _{b}(v)$	$\log _{10}\left({\frac {100}{10}}\right)=\log _{10}(100)-\log _{10}(10)=2-1=1$
$\log _{b}(u^{z})=z\cdot \log _{b}(u)$	$\log _{10}(100^{2})=2\cdot \log _{10}(100)=2\cdot 2=4$
$\log _{b}({\sqrt[{z}]{u}})=\log _{b}(u^{1/z})={\frac {1}{z}}\cdot \log _{b}(u)$	$\log _{10}({\sqrt[{2}]{100}})={\frac {1}{2}}\cdot \log _{10}(100)={\frac {1}{2}}\cdot 2=1$
$\log _{a}\left({\frac {1}{x}}\right)=-\log _{a}(x)$	$\log _{10}\left({\frac {1}{100}}\right)=-\log _{10}(100)=-2$
$\log _{a}\left(1\right)=0$	$\log _{10}\left(1\right)=0$
$\log _{a}\left(a\right)=1$	$\log _{10}\left(10\right)=1$

Ableitung und Integral des Logarithmus

Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Daher erhält man die Ableitung des natürlichen Logarithmus einfach durch Anwendung der Umkehrregel (siehe Beispiel dort).

Es ergibt sich

$\ln '(x)={\frac {1}{x}}$

Für allgemeine Logarithmen gilt:

$(\log _{b}{x})'={\frac {1}{x\ln {b}}}$

Das unbestimmte Integral des natürlichen Logarithmus erhält man mit partieller Integration:

$\int {\ln {x}\,\mathrm {d} x}=\int {1\cdot \ln {x}\,\mathrm {d} x}=x\cdot \ln {x}-\int {x\cdot {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x}=x\ln {x}-x$

Ist bei einem bestimmten Integral des natürlichen Logarithmus eine der Grenzen Null, so kann die Regel von L'Hospital angewendet werden (Beispiel):

$\int _{0}^{1}{\ln {x}\,\mathrm {d} x}=[x\ln {x}-x]_{0}^{1}=-1$,

da

$\lim _{x\to 0+}x\ln {x}=\lim _{x\to 0+}{\frac {\ln {x}}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0+}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0+}(-x)=0.$

Komplexer Logarithmus

Betrag von ln(z)

Realanteil von ln(z)

Imaginäranteil von ln(z)

Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl $w$, die die Gleichung

$e^{w}=z$

erfüllt, ein natürlicher Logarithmus von $z$. Dies ist im Unterschied zum reellen Logarithmus jedoch nicht eindeutig, da gilt:

$e^{2k\pi i}=1,\ k\in \mathbb {Z}$

Hat man also einen Logarithmus $w_{0}$ von $z$ gefunden, so ist auch

$w=w_{0}+2k\pi i$

ein Logarithmus von $z$, da gilt:

$e^{w}=e^{w_{0}+2k\pi i}=e^{w_{0}}\cdot e^{2k\pi i}=e^{w_{0}}\cdot 1=e^{w_{0}}=z$

Um Eindeutigkeit erreichen, schränkt man $w$ auf einen Streifen in der komplexen Zahlenebene ein. Man kann z.B. den Streifen

$\left\{w\in \mathbb {C} :-\pi <\mathrm {Im} \,w\leq \pi \right\}$

verwenden. Ein $w$ aus diesem Streifen heißt Hauptwert des Logarithmus und man schreibt $w=\ln {(z)}$. Stellt man $z$ in Polarkoordinaten dar, so erhält man eine einfache Darstellung des k-ten Zweigs der Logarithmusfunktion:

$w=\ln {|z|}+i\arg {(z)}+2k\pi i,\ k\in \mathbb {Z}$

Für $k=0$ hat man dann den Hauptzweig des Logarithmus:

$\ln {(z)}=\ln {|z|}+i\arg {(z)}$

ln(z) ist nicht stetig auf $\mathbb {C} \setminus \{0\}$. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist ln(z) auf dem Gebiet

$\mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} :x\leq 0\}$

stetig und sogar holomorph.

Mit dem Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus von negativen, reellen Zahlen bestimmen:

$\ln {(-x)}=\ln {|-x|}+i\arg {(-x)}=\ln {(x)}+i\pi ,\ x\in \mathbb {R} ^{+}$

Man muss jedoch beachten, dass im komplexen die Rechenregeln für Logarithmen nicht immer gelten:

• $\ln {x}+\ln {y}\neq \ln {(x\cdot y)}$

Beispiel: $\ln {(-1)}+\ln {(-1)}=2\pi i\neq 0=\ln {1}=\ln {((-1)\cdot (-1))}$

• $y\cdot \ln {x}\neq \ln {x^{y}}$

Beispiel: $2\pi i\cdot \ln {(e)}=2\pi i\neq 0=\ln {1}=\ln {(e^{2\pi i})}$

Anwendungen des Logarithmus

Nautilusschnecke zeigt einen Logarithmus

Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der Wissenschaft, wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst. Daten werden entweder direkt mit einer logarithmischen Skala dargestellt, oder die Einheiten selbst, wie

• Berechnung der Anzahl der Stellen, die zur Darstellung einer Zahl benötigt werden. Als Basis des Logarithmus wird dient Basis des Zahlensystems (z.B. 10, 2, 8 oder 16), dem die Zahl, deren Länge berechnet werden soll, zugeordnet ist. (Siehe auch „bit“ im nächsten Punkt.)
• bit = Informationseinheit = Messung der Informationsmenge.
• pH-Wert (Säurewert von chemischen Lösungen) (Anmerkung: In der Chemie kann man logarithmische Skalen i. A. am vorangestellten p erkennen, z. B. beim pKs- oder pKb-Wert)
• dB (Dezibel) z. B. Messung von Lautstärke, elektronischer Dämpfung
• In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen, so z. B das Wachstum von Schneckenhäusern oder die Anordnung der Kerne auf der Sonnenblume.
• Die Empfindlichkeit von Sinnesorganen folgt dem logarithmischen Weber-Fechner-Gesetz der Psychophysik, wonach eine Vervielfachung der Reizstärke nur eine lineare Zunahme des wahrgenommenen Reizes bewirkt.
• Sternhelligkeiten werden in astronomischen Größenklassen angegeben, die ein logarithmisches Maß der tatsächlichen Strahlungsstärke darstellt.
• Logarithmische Zeitskalen finden sich in der Geschichte der Technologie ebenso wie in der geologischen Zeitskala.
• Zur graphischen Darstellung von bestimmten mathematischen Funktionen werden spezielle mathematische Papiere verwendet, wie z. B. einfachlogarithmisches Papier oder doppeltlogarithmisches Papier.

Exponential- und logarithmische Gleichungen

Der Begriff des Logarithmus erlaubt die Lösung von Aufgabenstellungen, die bei Wachstums- oder Zerfallsprozessen typischerweise auftreten.

Weblinks

Logarithmusrechner mit Quelltext

Logarithmen