Analytische Fortsetzung

Mit Hilfe der Analytischen Fortsetzung, kann man den Definitionsbereich einer komplexwertigen Funktion erweitern. Meist wird diese Methode bei einer komplexen Funktion, die über eine Potenzreihe nahe einem punkt $z_{o}$ definiert ist, verwendet.

Definition

Sei $f_{0}:K_{0}\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion. Dann heißt $f_{n}:K_{n}\to \mathbb {C}$ die analytische Fortsetzung von $f_{o}$ entlang der Kreiskette ($K_{o}$, …, $K_{n}$) falls: $\exists f_{i}:K_{i}\to \mathbb {C}$ holomorph mit $f_{i}=f_{i-1}$ auf $K_{i}\cup K_{i-1}$

Bemerkungen

• Lässt sich $f_{0}^{\prime }$ längs einer Kreiskette fortsetzen, so lässt sich auch $f_{0}$ auf dieser Kreiskette fortsetzen.
• Analytische Fortsetzungen sind eindeutig

Beispiele für Anwendungen

Mit Hilfe der Analytischen Fortsetzung, lassen sich z.B. Exponential-, Trigonometrische- und Hyperbolische Funktionen anstatt nur auf $\mathbb {R}$ auf der gesamten komplexen Ebene $\mathbb {C}$ verwenden.