Ein Vektorraum ist eine Menge V mit Elementen v, w, ..., genannt Vektoren, zusammen mit einer zweiten Menge K, einem Körper, mit Elementen a, b, ... genannt Skalaren.
Um den Zusammenhang zwischen den Vektoren und dem Körper klar zu machen, sagt man oft "V ist ein K-Vektorraum" oder "V ist ein Vektorraum über K".
Die Lineare Algebra befasst sich speziell mit Vektorräumen.
In einem Vektorraum sind, zusätzlich zu den Verknüpfungen + und . des Körpers K, die folgenden Verknüpfungen + und * definiert:
- Addition (+) zweier Vektoren, d.h. v + w ist wieder ein Vektor, wobei (V,+) eine abelsche Gruppe ist.
- Multiplikation (*) eines Vektors mit einem Skalar ("skalare Multiplikation"), d.h. a * v ist wieder ein Vektor.
Dabei müssen folgende Verträglichkeitsbedingungen zwischen den Verknüpfungen erfüllt sein :
- Assoziativgesetz:
- ( a . b ) * v = a * ( b * v )
- Distributivgesetze:
- a * ( v + w ) = a * v + a * w
- ( a + b ) * v = a * v + b * v
Wenn 1 das multiplikativ neutrale Element von K ist, so folgt:
- 1 * v = v .
Wenn 0 das additiv neutrale Element von K ist, so folgt:
- 0 * v = 0 ( 0 ist dabei der "Nullvektor", das Neutralelement der Gruppe (V,+) ) .
Beispiele:
1. Anschauliche Vektorräume sind die 2-dimensionale Ebene oder der 3-dimensionale Raum mit den Pfeilklassen (Verschiebungen) als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren.
v = ( 2 , 3 ) sei die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben. w = ( 3 ,-5 ) sei die Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten.
Die Summe zweier Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung:
v + w = ( 5 ,-2 ), d.h. 5 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten.
Der Nullvektor ist 0 = ( 0 , 0 ), d.h. keine Verschiebung.
Mit einem Skalar a = 3 aus der Menge der reellen Zahlen ist die S-Multiplikation:
a * v = 3 * ( 2 , 3 ) = ( 6 , 9 ). Diese Verschiebung ist das Dreifache der Verschiebung v.
2. Vektorräume können jedoch auch abstrakter aussehen. So kann V etwa die Menge der Geraden sein. Beispiele für Geraden sind etwa:
f(x) = 2x + 3 , g(x) = 3x - 5 .
Die Summe zweier Geraden ist wieder eine Gerade:
f(x) + g(x) = 2x + 3 + 3x - 5 = (2+3)x + (3-5) = 5x - 2 .
Der Nullvektor ist die Funktion
n(x) = 0x + 0 , d.h. n(x) = 0.
Mit einem Skalar a = 3 aus der Menge der reellen Zahlen ist die S-Multiplikation:
a * f(x) = 3 * (2x + 3) = (3.2)x + (3.3) = 6x + 9.
3. Die Quantenmechanik arbeitet mit Hilberträumen, die Vektorräume spezieller Funktionen sind.
siehe auch Hierarchie mathematischer Strukturen, Raum (Mathematik)