Graßmann-Algebra

Die Graßmann-Algebra oder äußere Algebra eines Vektorraums V ist die kleinste (im Sinne einer Universalkonstruktion) Algebra A, in welche V injektiv und antikommutativ eingebettet ist, d.h. es gibt eine injektive Abbildung j:V->A mit j(v)j(v)=0 für alle v aus V. Das Produkt dieser Algebra wird als äußeres Produkt bezeichnet. Anwendung findet dieser Kalkül in der Differentialgeometrie als Algebra der Differentialformen, bis hin zum Riemannschen Krümmungstensor. In dieser Form geht die Theorie der alternierenden Differentialformen auf Élie Cartan zurück, der damit bestehende Begriffe der Flächentheorie vereinheitlichte. Antikommutative Produkte von Vektoren wie auch abstrakte Vektorräume überhaupt wurden erstmals 1846 von Hermann Graßmann betrachtet.

Konstruktion für Körper der Charakteristik 0

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper der Charakteristik 0, also beispielsweise über den reellen oder komplexen Zahlen.

Dann ist die äußere Algebra $\Lambda V$ diejenige Teilalgebra der Tensoralgebra, welche alle alternierenden Tensoren enthält. Dabei hat "alternierend" folgende Bedeutung: Sei $\Pi _{ik}$ die Vertauschung der i-ten mit der k-ten Position eines (kovarianten) m-Tensors. Dann heißt ein m-Tensor T alternierend, falls für alle $1\leq i<k\leq m$ gilt $\Pi _{ik}T=-T$.

Etwas formaler kann man die äußere Algebra auch als den Teil definieren, auf dem die symmetrischen Gruppe durch das Vorzeichen der entsprechenden Permutation operiert.

Das äußere Produkt kann dann über die reinen Produkte definiert werden als:

$(a_{1}\wedge \dots \wedge a_{k})\wedge (a_{k+1}\wedge \dots \wedge a_{m}):={\frac {1}{m!}}\sum _{\sigma \in S_{m}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes a_{\sigma (m)}$,

wobei über alle Permutationen der Indexmenge {1,...,m} summiert wird und bei ungerader Parität der Permutation ein negatives Vorzeichen eingefügt wird.

Konstruktion für beliebige kommutative Ringe mit Einselement

Ist allgemein $V$ ein Modul über einem kommutativen Ring $R$ mit Einselement, so definiert man die äußere Algebra als einen Quotienten der Tensoralgebra $\mathrm {T} V$ nach dem zweiseitigen Ideal, das von den Elementen $v\otimes v,\ v\in V$ erzeugt wird. Dabei ergibt sich das äußere Produkt automatisch aus dem Produkt der Tensoralgebra.

Ist $R$ ein Körper der Charakteristik 0, ergeben die beiden Konstruktionen kanonisch isomorphe Algebren.

Universelle Eigenschaften

• Sind $V,W$ zwei Vektorräume (bzw. Moduln), so entsprechen Homomorphismen

${\bigwedge \!}^{k}\,V\to W$

den alternierenden $k$-multilinearen Abbildungen

$V\times \ldots \times V\to W.$

• Ist $V$ ein Vektorraum (bzw. Modul) und $A$ eine assoziative Algebra, so gibt es eine Bijektion zwischen

• den Homomorphismen von Vektorräumen (bzw. Moduln) $f\colon V\to A$, so dass $f(v)^{2}=0$ für alle $v\in V$ gilt

und

• den Algebrenhomomorphismen $\bigwedge V\to A$.

Graduierung

Die äußere Algebra $\Lambda V$ kann in Form einer direkten Summe in Bestandteile verschiedenen Grades zerlegt werden. Der Teilvektorraum $\Lambda ^{m}V$ zum Grad m wird dabei von allen äußeren Produkten mit m Faktoren aus (der Einbettung von) V erzeugt. Hat V die Dimension n, so gilt

$\mathop {\mathrm {dim} } \Lambda ^{m}V={\binom {n}{m}}$ und

$\Lambda V=\bigoplus _{m=0}^{n}\Lambda ^{m}V$.

Die Gesamtdimension der Algebra ist 2ⁿ.

In der Physik heißen die Elemente von ${\bigwedge }^{m}V$ m-Vektoren. 0-Vektoren sind Skalare, d.h. Elemente des Grundkörpers, 2-Vektoren werden häufig Bivektoren genannt, n-Vektoren werden auch als Pseudoskalare bezeichnet.

Skalarprodukt

Hat der Vektorraum V ein Skalarprodukt, so kann auch die äußere Algebra mit einem solchen ausgestattet werden. Dabei werden Unterräume verschiedenen Grades als orthogonal definiert. Innerhalb eines Unterraums genügt es, das Skalarprodukt auf reinen Produkten zu definieren, seien $a_{1}\wedge \dots \wedge a_{m}$ und $b_{1}\wedge \dots \wedge b_{m}$ reine Produkte in $\Lambda ^{m}V$. Ihnen kann die Gramsche Matrix der Skalarprodukte zugeordnet werden. Dann kann das Skalarprodukt als Determinante der Gramschen Matrix definiert werden:

$\langle a_{1}\wedge \dots \wedge a_{m},\,b_{1}\wedge \dots \wedge b_{m}\rangle :=\det {\begin{pmatrix}\langle a_{1},b_{1}\rangle &\dots &\langle a_{1},b_{m}\rangle \\\vdots &&\vdots \\\langle a_{m},b_{1}\rangle &\dots &\langle a_{m},b_{m}\rangle \end{pmatrix}}$

Ist V der n-dimensionale Spaltenvektorraum, so kann zu $a_{1}\wedge \dots \wedge a_{m}$ die Matrix $A=(a_{1},\dots ,a_{m})$ definiert werden. Von dieser kann man die maximalen quadratischen Untermatrizen $A_{\alpha }$ betrachten. Dabei ist $\alpha$ ein Multiindex aus

$I_{m}:=\{\alpha \in \mathbb {N} ^{m}:\;1\leq \alpha (1)<\dots <\alpha (m)\leq n\}$

und $A_{\alpha }$ besteht aus genau diesen Zeilen von A.

Es gilt folgende Identität, im Falle m=2 und A=B auch "Flächenpythagoras" genannt:

$\det(\;(\langle a_{i},b_{k}\rangle )\;)=\det(A^{t}B)=\sum _{\alpha \in I_{m}}\det A_{\alpha }\cdot \det B_{\alpha }$

Hodge-Operator

Der Hodge- oder Hodge-Stern-Operator vermittelt zwischen den Teilräumen $\Lambda ^{k}V$ und $\Lambda ^{n-k}V$. Dazu ist es notwendig, eine Orientierungsklasse festzulegen. Ist $(e_{1},\dots ,e_{n})$ eine Basis aus dieser Orientierungsklasse, so wird jedem $\omega \in \Lambda ^{k}V$ das eindeutig definierte $*\omega \in \Lambda ^{n-k}V$ zugeordnet, für welches gilt:

$\forall \eta \in \Lambda ^{k}V:\;\eta \wedge *\omega =\langle \eta ,\omega \rangle \cdot e_{1}\wedge \dots \wedge e_{n}$