Identische Abbildung

Eine identische Abbildung oder Identität ist in der Mathematik eine Funktion, die genau ihr Argument zurückgibt. Obwohl die identische Abbildung oft durch „Identität“ abgekürzt wird, darf sie nicht mit der Identität (Mathematik) verwechselt werden, welche eine Gleichheitsbeziehung charakterisiert.

Definition

Sei $M$ eine Menge, dann ist die identische Abbildung auf $M$ definiert durch:

$\operatorname {id} _{M}\colon M\to M,\quad x\mapsto x$

das heißt für jedes $x$ aus $M$ gilt

$\operatorname {id} _{M}(x)=x.$

Die identische Abbildung ist somit eine Bijektion, ihr Graph ist die Menge

$\{(m,m)|m\in M\}.$

Der Index wird häufig weggelassen, wenn aus dem Kontext die Definitionsmenge hervorgeht. In diesem Fall wird auch $1$ statt $\mathrm {id}$ geschrieben. Statt der Notation $\mathrm {id}$ wird manchmal die Schreibweise $\mathrm {Id}$ benutzt.

Eigenschaften

Ist $f:M\rightarrow N$ eine beliebige Funktion, dann gilt für die Komposition (Hintereinanderausführung) mit der Identität:

$\operatorname {id} _{N}\circ f=f$

und

$f\circ \operatorname {id} _{M}=f$

Daher ist in der Menge aller Funktionen von $M$ nach $M$ die Identität das neutrale Element bezüglich der Komposition. Somit bilden diese Funktionen ein Monoid. Insbesondere ist die Identität das neutrale Element in der Gruppe der Permutationen der Menge $M$.

Die Identität $\operatorname {id} _{\mathbb {N} }$ auf der Menge der natürlichen Zahlen ist eine multiplikative Funktion, die in der Zahlentheorie betrachtet wird.

Auf einem topologischen Raum ist die Identität eine stetige Funktion. Auf einem topologischen Vektorraum, zum Beispiel einem Banachraum, ist die Identität ein stetiger linearer Operator. Ist der Banachraum zusätzlich endlich-dimensional, so ist die Identität kompakt.

Die Matrizenmultiplikation mit der Einheitsmatrix (neutrales Element) ist eine Identitätsabbildung. In der linearen Algebra können Basiswechselmatrizen als Darstellungsmatrizen der identischen Abbildung bezüglich zweier unterschiedlicher Basen aufgefasst werden.