Lindblad-Resonanz

Lindblad-Resonanzen (benannt nach ihrem Entdecker Bertil Lindblad) sind ein Resonanzphänomen aus der Galaxientheorie.

Die Dichtewellentheorie besagt, dass die Spiralarme einer rotierenden Galaxie durch eine Dichtewelle stabilisiert werden, die im Gravitationsfeld der Galaxie mit konstanter Winkelgeschwindigkeit umläuft. Die Bahnen der Sterne in der galaktischen Ebene werden dabei von einem winkelabhängigen Potential „gestört“; eine solche winkelabhängige Störung kann etwa ein Spiralarm oder ein galaktischer Balken sein. Die Störung rotiert mit einer Winkelgeschwindigkeit, die im Allgemeinen nicht mit der derjenigen des restlichen Systems übereinstimmt. Wenn die Differenz zwischen der Winkelgeschwindigkeit der Störung und der Bahnradius-abhängigen Winkelgeschwindigkeit der Sterne gerade ein ganzzahliges Vielfaches der epizyklischen Frequenz $\kappa$ ist, kommt es zur Resonanz:

m\left[\Omega _{\mathrm {St{\ddot {o}}rung} }-\Omega _{\text{Stern}}(R)\right]=\pm \kappa \quad {\text{mit}}\quad m\in \mathbb {N}

für die Anzahl der Spiralarme (meist 2).

Dies ist der Fall bei bestimmten Bahnradien $R$ , den Resonanzradien, die sich für ein gegebenes Modell berechnen lassen.

Die ko-rotierende Resonanz (CR) tritt bei dem Radius auf, bei dem die Sterne und die Störung gleich schnell rotieren, $\Omega _{\mathrm {St{\ddot {o}}rung} }=\Omega _{\text{Stern}}(R)$ mit der Relativfrequenz $\nu ={\frac {m}{\kappa }}\left[\Omega _{\mathrm {St{\ddot {o}}rung} }-\Omega _{\text{Stern}}(R)\right]=0$ .
Der Radius der inneren Lindblad-Resonanz (ILR) liegt innerhalb desjenigen der CR, die Störung läuft langsamer um als die Sterne. Hier gilt: $\Omega _{\mathrm {St{\ddot {o}}rung} }-\Omega _{\text{Stern}}(R)=-{\frac {\kappa }{m}}$ bzw. Relativfrequenz $\nu =-1$ . Abhängig von den Parametern des Systems kann es null bis mehrere ILRs geben.
Der Radius der äußeren Lindblad-Resonanz (OLR) liegt außerhalb desjenigen der CR, die Störung läuft schneller um als die Sterne. Hier gilt: $\Omega _{\mathrm {St{\ddot {o}}rung} }-\Omega _{\text{Stern}}(R)=+{\frac {\kappa }{m}}$ bzw. Relativfrequenz $\nu =+1$ .

Mathematische Herleitung

Wenn man davon ausgeht, dass die Dichteverteilung in einem System nicht stationär ist, kann man deren Zeitentwicklung betrachten, indem man die Eulergleichung

{\frac {\partial \Sigma {\vec {u}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\Sigma {\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right)=-\nabla c_{s}-\Sigma \nabla \Phi

mit einer Störung versieht. Dies bedeutet, dass für alle Variablen $\Sigma$ , $\Phi$ , $P$ und ${\vec {u}}$ ein orts- und zeitabhängiger Störungsansatz gemacht wird. So wird z.B. die Dichte gemäß

\Sigma (r,\phi ,t)=\Sigma _{0}(r)+{\tilde {\Sigma }}(r,\phi ,t)

gestört.

Eliminiert man dann in den aus dem Störungsansatz folgenden Gleichungen die ungestörten Anteile, so erhält man eine Poisson- und drei Störungs-Gleichungen. Dieses Gleichungssystem wird durch einen Ansatz z.B. für die Dichte der Form

{\tilde {\Sigma }}(r,\phi ,t)={\tilde {\Sigma }}^{*}(r)\exp \left(i[m\omega _{p}t-m\phi +\Phi (r)]\right)

gelöst. Dieser Ansatz entspricht spiralförmigen Dichtewellen mit $m$ Armen, die mit der Frequenz $\omega _{p}$ starr rotieren (Index _p wie pattern; $\omega _{p}$ entspricht dem $\Omega _{\mathrm {St{\ddot {o}}rung} }$ in der Einleitung). In Ruhe folgt daraus für die Dichtemaxima das Muster

m\omega _{p}t_{0}-m\phi +\Phi (r)=0

,

was für $m\neq 0$ eine Spirale ist:

\phi =\phi (r)={\frac {1}{m}}\Phi (r)

.

Findet man nun auch für die anderen Störungsgleichungen selbstkonsistente Lösungen, so erhält man ein algebraisches Gleichungssystem, das im weiteren dann auf eine Dispersionsrelation führt, die die Bedingung für eine spiralförmige Dichtewelle ausdrückt. Daraus wiederum folgt dann die Dispersionsgleichung

1-{\frac {m^{2}(\omega _{p}-\Omega )^{2}}{\kappa ^{2}}}+{\frac {k^{2}c_{s}^{2}}{\kappa ^{2}}}={\frac {2\pi G\Sigma _{0}|k|}{\kappa ^{2}}}

,

in der $\Omega$ für die Keplergeschwindigkeit steht, $k={\frac {d\Phi }{dr}}$ die radiale Wellenzahl ist und $\kappa$ die Epizykelfrequenz, die definiert ist als