Einhängung

In der Topologie bezeichnet die Einhängung SX eines topologischen Raums X den Quotientenraum

$SX=(X\times I)/\{\forall x,y\in X:(x,0)\sim (y,0),\ (x,1)\sim (y,1)\}$

des Produkts von X mit dem Einheitsintervall I = [0, 1].

Anschaulich wird X erst zu einem "Zylinder" $X\times I$ ausgedehnt, dessen Enden dann zu Punkten zusammengefaßt werden, und man betrachtet X als zwischen diesen Endpunkten "eingehängt". Man kann die Einhängung auch als zwei Kegel über X, die auf ihrer Grundseite miteinander verklebt sind, betrachten. Eine dritte Möglichkeit ist ihre Betrachtung als Quotient des Kegels über X, bei dem die Punkte der Grundseite als äquivalent zusammengefaßt werden.

Einhängung ist ein Funktor, der grob gesagt die Dimension eines Raums um eins erhöht: $\forall n\in \mathbb {N} _{0}\colon S(S^{n})\cong S^{n+1}.$

Die Einhängung induziert Pfeile zwischen Homotopiegruppen, auf die sich der Freudenthalsche Einhängungssatz bezieht. In der Homotopietheorie wird die Betrachtung von Phänomenen, die unter Einhängung erhalten werden als Stabile Homotopietheorie bezeichnet.

Reduzierte Einhängung

Ist X punktierter Raum (mit Basispunkt x₀), so gibt es eine abgewandelte Einhängung von X, die wieder punktiert ist: Die reduzierte Einhängung ΣX von X is der Quotientenraum:

$\Sigma X=(X\times I)/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times I)$.

Die Konstruktion kollabiert die Gerade (x₀ × I) in SX, wobei die Enden zu einem Punkt zusammengefaßt werden. Der Basispunkt von ΣX ist die Äquivalenzklasse von (x₀, 0). Σ ist Endofunktor in der Kategorie punktierter Räume.

Man kann zeigen, daß die reduzierte Einhängung von X homöomorph zum Smash-Produkt von X mit dem Einheitskreis S¹ ist:

$\Sigma X\cong S^{1}\wedge X$,

allgemeiner ist die $n$-fach iterierte reduzierte Einhängung im wesentlichen das Smash-Produkt mit der $n$-Sphäre:

$\Sigma ^{n}X\cong S^{n}\wedge X$.

Für CW-Komplexe ist die reduzierte Einhängung homotopieäquivalent zur gewöhnlichen.

Eigenschaften

• Die Funktorialität der Einhängung induziert Abbildungen

$\pi _{n}(X)=[S^{n},X]\to [\Sigma S^{n},\Sigma X]=\pi _{n+1}(\Sigma X).$

Der direkte Limes

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\colim“): {\displaystyle \pi_n^s(X)=\colim_k\pi_{n+k}(\Sigma^k X)}

über diese Abbildungen ist die $n$-te stabile Homotopiegruppe von $X$.

• Die reduzierte Einhängung ist linksadjungiert zur Bildung des Schleifenraumes: Sind $X,Y$ kompakt erzeugt, so gibt es einen kanonischen natürlichen Isomorphismus

$[\Sigma X,Y]=[X,\Omega Y].$

Insbesondere gilt

$\pi _{n+1}(Y)=\pi _{n}(\Omega Y).$