Untergruppe

In der Gruppentheorie der Mathematik ist eine Untergruppe eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe $(G,\circ )$, die bezüglich $\circ$ selbst wieder eine Gruppe bildet.

Äquivalente Definitionen

Es läßt sich folgendes Untergruppenkriterium formulieren: Eine nichtleere Teilmenge $U$ von $G$ ist eine Untergruppe von $G$, genau dann wenn gilt:

• $a,b\in U\Rightarrow a\circ b\in U$
• $a\in U\Rightarrow a^{-1}\in U$

Aus diesen beiden Bedingungen folgt insbesondere auch, dass das neutrale Element $\varepsilon$ von $G$ in jeder Untergruppe enthalten sein muss.

Eine weitere äquivalente Forderung ist, dass $U$ eine nichtleere Teilmenge von $G$ ist mit:

• $a,b\in U\Rightarrow a\circ b^{-1}\in U$

Je nach Kompliziertheit der Verknüpfung ist es einfacher, die beiden Bedingungen der ersten Formulierung oder die Bedingung der zweiten Formulierung zu beweisen.

Beispiele

• Die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ sind bezüglich der Addition eine Untergruppe der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$.
• Die Menge der Permutationen $\{{\mbox{id}},(1,2,3),(1,3,2)\}$ ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe $S_{3}$.

Eigenschaften

Von einer Gruppe $G$ sind stets $G$ selbst sowie die einelementige Gruppe $\{\varepsilon \}$ Untergruppen. Diese werden die trivialen Untergruppen von $G$ genannt. Im Fall $G=\{\varepsilon \}$ sind diese beiden Untergruppen gleich und stellen die einzige Untergruppe dar. Alle anderen Gruppen $G\neq \{\varepsilon \}$ haben mindestens zwei Untergruppen, nämlich die beiden voneinander verschiedenen trivialen.

Die Menge aller Untergruppen einer Gruppe $G$ bildet einen vollständigen Verband, den Untergruppenverband. Die beiden trivialen Untergruppen $\{\varepsilon \}$ und $G$ entsprechen dem Null- bzw. dem Einselement des Verbandes.

Satz von Lagrange: Die Kardinalität jeder Untergruppe $U$ einer endlichen Gruppe teilt die Kardinalität der Gruppe $G$.

Ist beispielsweise $|G|$ eine Primzahl, so kann die Kardinalität einer Untergruppe $U$ nur 1 oder $|G|$ betragen. Also sind in diesem Falle die trivialen Untergruppen die einzigen Untergruppen von $G$.

Untergruppen, die unter der Konjugation fest bleiben, heißen Normalteiler. Sie dienen der Erzeugung von Faktorgruppen.

Ist $A$ Untergruppe einer Gruppe $B$, die ihrerseits Untergruppe von $C$ ist, dann ist $A$ auch Untergruppe von $C$. (Die entsprechende Aussage für Normalteiler gilt nicht.)