Hilbertscher Nullstellensatz

Der Hilbertsche Nullstellensatz stellt in der Mathematik in der algebraischen Geometrie die zentrale Verbindung zwischen Idealen und affinen Varietät her. Er wurde von David Hilbert bewiesen. Die Aussage lautet:

Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal in $K[T_{1},\dots ,T_{n}]$ dann gilt: ${\sqrt {\mathfrak {a}}}=I(V({\mathfrak {a}}))$

Hierbei bedeutet ${\sqrt {\mathfrak {a}}}$ das Radikal von ${\mathfrak {a}}$, sowie $V(a)$ die Menge aller gemeinsamen Nullstellen von ${\mathfrak {a}}$, und $I(X)$ das Ideal aller Polynome, die auf $X$ verschwinden.

Die Inklusion ${\sqrt {\mathfrak {a}}}\subset I(V({\mathfrak {a}}))$ ist dabei trivial, denn jede Nullstelle von $f(T)^{r}$ ist auch Nullstelle von $f(T)$.

Der Hilbertsche Nullstellensatz liefert also eine 1-1 Beziehung (Bijektion) zwischen affine Varietät und radikalen Idealen (Idealen, die mit ihrem Radikal übereinstimmen). Dass dies nur für radikale Ideale gilt, zeigt ein einfaches Beispiel: $I(V((X^{2})))=(X)$.

Neben dieser geometrischen Variante ist auch noch der damit eng zusammenhängende Hilbertsche Nullstellensatz der Körpertheorie bekannt. Diese, auch als Schwacher Nullstellensatz bekannte Aussage, lautet:

Sei $K$ ein Körper, $L=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ eine endliche Ringerweiterung. Ist $L$ ein Körper, so sind alle $x_{i}$ algebraisch über $K$.

Insbesondere folgt daraus, dass jede endliche Körpererweiterung eines algebraisch abgeschlossenen Körpers $K$, wieder mit $K$ identifiziert werden kann.