Kompakter Operator

Kompakte Operatoren zwischen zwei Banachräumen sind in der Funktionalanalysis, einem der Teilgebiete der Mathematik, spezielle Operatoren, die ihren Ursprung in der Theorie der Integralgleichungen haben.

Definition

Seien $E,F$ Banachräume, $K\colon E\to F$ ein Operator. Dann heißt $K$ kompakt, falls $K$ stetig ist und das Bild jeder beschränkten Menge $S$ in $E$ eine relativkompakte Teilmenge von $F$ ist.

Beispiel

Die Identität auf einem Banachraum ist genau dann kompakt, wenn der Banachraum endlich-dimensional ist. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Einheitskugel genau dann relativkompakt ist, wenn der Banachraum endlich-dimensional ist.

Lineare kompakte Operatoren

Für lineare Operatoren reicht es zu fordern, dass das Bild der Einheitskugel $\{x\in E:\|x\|\leq 1\}$ relativkompakt ist. Es ergibt sich dann folgender Zusammenhang zu stetigen Operatoren: Ist $K$ stetiger linearer Operator, so wird jede beschränkte Menge auf eine beschränkte Menge abgebildet. Ist $K$ kompakter linearer Operator, wird jede beschränkte Menge auf eine relativkompakte Menge abgebildet. Da jede relativkompakte Menge beschränkt ist, muss die Stetigkeit von $K$ dann nicht mehr gefordert werden.

Vollstetige Operatoren

Seien $E,F$ Banachräume, $K\colon E\to F$ ein Operator. Dann heißt $K$ vollstetig, falls für jede in $E$ schwach konvergente Folge $(x_{n})$ die Bildfolge $(K(x_{n}))$ in $F$ normkonvergent ist. Kompakte Operatoren sind vollstetig. Ist $E$ reflexiv, so ist auch jeder vollstetige Operator kompakt.

Eigenschaften

• Für einen kompakten Operator $K$ und einen Skalar $\lambda \in \mathbb {R}$ (bzw. $\lambda \in \mathbb {C}$) ist auch der Operator $\lambda K$ kompakt.
• Für kompakte Operatoren $K_{1}$ und $K_{2}$ ist auch der Operator $K_{1}+K_{2}$ kompakt.
• Ist $\{K_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ eine Folge kompakter Operatoren die bezüglich der Operatornorm konvergiert, so ist auch $\lim _{n\to \infty }K_{n}$ kompakt.
• Satz von Schauder: $K:X\to Y$ ist genau dann kompakt, wenn der adjungierte Operator $K^{*}:Y^{*}\to X^{*}$ kompakt ist.
• Seien $W$, $X$, $Y$ und $Z$ Banachräume, $K:X\rightarrow Y$ ein kompakter Operator, $A:W\rightarrow X$ und $B:Y\rightarrow Z$ beschränkte Operatoren. Dann ist auch $BKA:W\rightarrow Z$ kompakt.
• Insbesondere ist die Menge aller kompakten Operatoren eines Hilbertraumes $H$ ein selbstadjungiertes abgeschlossenens Ideal in der C*-Algebra aller beschränkten linearen Operatoren auf $H$.
• $K:X\to Y$ ist genau dann kompakt, wenn zu jeder beschränkten Folge $(x_{n})$ in $X$ eine Teilfolge von $(K(x_{n}))$ existiert, welche in Y konvergiert. Kompakte Operatoren bilden also beschränkte Folgen auf Folgen mit konvergenten Teilfolgen ab. Ist $X$ unendlichdimensional, gibt es beschränkte Folgen, die keine konvergenten Teilfolgen besitzen. Somit können kompakte Operatoren Konvergenzeigenschaften "verbessern".
• Ist $K:X\to Y$ ein linearer Operator und $X$ endlichdimensional, so ist $K$ kompakt
• Gibt es eine Folge von Operatoren endlichen Ranges, welche in der Operatornorm gegen $K$ konvergiert, so ist $K$ kompakt. Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht. Hinreichende Bedingung für die Gültigkeit der Umkehrung ist die Existenz einer beschränkten Folge stetiger Operatoren endlichen Ranges, die gegen die Identität im Banachraum konvergiert. Dies ist insbesondere in Hilberträumen der Fall.

Anwendung

Sei $G\subseteq \mathbb {R}$ kompakt mit echt positivem Lebesgue-Maß und $k$ stetig auf $G\times G$. Dann ist der durch

$Tx(t)=\int \limits _{G}k(t,s)x(s)\mathrm {d} s$

definierte Fredholmsche Integraloperator kompakt. Diese Aussage lässt sich mit Hilfe des Satzes von Arzela-Ascoli beweisen.

Viele Sätze zur Lösbarkeit von Integralgleichungen, wie die Fredholmsche Alternative, setzen einen kompakten Operator voraus.