Schrödingergleichung

Die Schrödingergleichung ist die Grundgleichung der nichtrelativistischen Quantenmechanik. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung des Zustands eines unbeobachteten Quantensystems. Die Schrödingergleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger angegeben aber schon 100 Jahre vorher durch Hamilton gefunden.

Die Schrödingergleichung lautet für ein einzelnes, durch die Wellenfunktion ψ beschriebenes Teilchen (etwa ein Elementarteilchen oder ein Atom) im Potential V:

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)$

Man erhält diese Gleichung aus der klassischen Energiegleichung

$E={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)$

durch Ersetzung von Energie und Impuls durch die Operatoren

$E\rightarrow \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$

$\mathrm {p} \rightarrow -\mathrm {i} \hbar \nabla$

und anschließendem Anwenden auf $\psi (\mathbf {r} ,t)$.

Den Operator auf der rechten Seite der Schrödingergleichung nennt man auch Hamilton-Operator, und bezeichnet ihn mit H. Mit diesem lautet die Schrödingergleichung einfach

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)=H\psi (\mathbf {r} ,t)$

Durch Separation der Variablen kann für zeitunabhängige Hamiltonoperatoren (also insbesondere zeitunabhängige Potentiale) die so genannte zeitunabhängige Schrödingergleichung

$H\psi (\mathrm {r} )=E\psi (\mathrm {r} )$

hergeleitet werden. Entsprechend nennt man die volle Schrödingergleichung auch die zeitabhängige Schrödingergleichung.