Hilbertraum

Ein Hilbert-Raum (nach David Hilbert) ist ein Vektorraum über den reellen Zahlen $\mathbb {R}$ oder den komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ mit einem Skalarprodukt, der hinsichtlich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm vollständig ist, d.h. jede Cauchy-Folge konvergiert.

Der Hilbert-Raum ist eine Verallgemeinerung des Euklidischen Raums bzw. des Unitären Raums. In der Physik wird der Begriff vor allem für unendlich dimensionale Räume verwendet. Hilbert-Räume spielen in der Theorie der Quanten-Physik eine wichtige Rolle insofern, als die Zustände eines quantentheoretischen Systems einen Hilbert-Raum bilden. Bekanntes Beispiel ist die Wellenfunktion $\psi (x,t)$ aus der Schrödingergleichung $\langle \psi _{1},\psi _{2}\rangle =\int \psi _{1}^{*}\psi _{2}\,\mathrm {d} V$.

Beispiele für Hilbert-Räume

• $\mathbb {R}$ mit der üblichen Multiplikation und dem Absolut-Betrag als Norm
• $\mathbb {C}$ mit $\langle c_{1},c_{2}\rangle =c_{1}^{*}c_{2}$ und dem Absolut-Betrag als Norm
• alle endlich dimensionalen Vektorräume über $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ mit dem Standard-Skalarprodukt und der euklidischen Norm

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Weitere mathematische Räume siehe unter Raum (Mathematik)