Dirac-Theorie

Die Dirac-Theorie ist ein Teil der Quantenmechanik, der auch die spezielle Relativitätstheorie mit einbezieht. Sie wurde 1928 von Paul A. M. Dirac ausgehend von der Klein-Gordon-Gleichung entwickelt.

Die Dirac-Theorie beschreibt die Eigenschaften und das Verhalten von Teilchen mit halbzahligem Spin, den Fermionen, die Klein-Gordon-Gleichung dagegen das von Teilchen mit ganzzahligem Spin, den Bosonen. Die wichtigsten Erfolge der Dirac-Theorie sind:

• Die Vorhersage der Existenz von Antimaterie insbesondere die des Positrons, die Dirac aus der Existenz von Zuständen mit negativer Energie ableitete. Sie gilt als ein Paradebeispiel für die Möglichkeit eines Erkenntnisvorsprungs der theoretischen Physik vor der experimentellen. Der erste experimentelle Nachweis des Positrons gelang 1932.

• Die korrekte Vorhersage für den Wert des Spindrehimpulses des Elektrons. Während der Bahndrehimpuls in der Quantenmechanik nur ganzzahlige Vielfache des planckschen Wirkungsquantums $\hbar$ annehmen kann, beträgt er für den intrinsischen Drehimpuls des Elektrons $\hbar /2$. Damit in Zusammenhang steht auch

• die Vorhersage für den Wert des Landé-Faktors des Elektrons.

Freie Dirac-Gleichung

Grundlage der Dirac-Theorie ist die Dirac-Gleichung. Dabei handelt es sich um eine Differentialgleichung für einen Spinor $\psi$, der im Allgemeinen als vierkomponentige Wellenfunktion geschrieben wird. Die Anzahl der Komponenten wird durch die zwei möglichen Zustände des Spins und die zwei möglichen Vorzeichen der Energieeigenwerte erklärt.

Schrödingerform

Die Dirac-Gleichung für ein kräftefreies Teilchen der Masse m lautet in der Schrödingerform

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(c{\vec {\alpha }}{\vec {p}}+\beta mc^{2}\right)\psi$.

Dabei ist ${\vec {\alpha }}=\left(\alpha _{x},\alpha _{y},\alpha _{z}\right)$ mit ein Vektor aus $4\times 4$-Matritzen und ${\vec {p}}={\hbar \over i}\left({\partial /\partial _{x}},{\partial /\partial _{y}},{\partial /\partial _{z}}\right)$ der Impulsoperator. Durch Quadrieren der Gleichung ergibt sich die relativistische Energie-Impus-Beziehung $E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$, wobei der Zeitentwicklungsoperator auf der linken Seite der Energie entspricht. Dazu müssen die Dirac-Matritzen $\alpha _{x},\alpha _{y},\alpha _{z}$ und $\beta$ paarweise antikommutieren. Dies wird üblicherweise durch die fogende Realisierung erreicht:

$\beta ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$ $\alpha _{x}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}$ $\alpha _{y}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&-i&0&0\\i&0&0&0\end{pmatrix}}$ $\alpha _{z}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}}$

Diese Matrizen lassen sich kompakter mit Hilfe der Pauli-Matrizen schreiben:

${\vec {\alpha }}={\begin{pmatrix}0&{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&0\end{pmatrix}};\;\beta ={\begin{pmatrix}1_{2\times 2}&0\\0&-1_{2\times 2}\end{pmatrix}}$

Den Hamiltomoperator der freien Dirac-Gleichung $D_{0}=c{\vec {\alpha }}{\vec {p}}+\beta mc^{2}$ nennt man den freien Diracoperator. Die zugehörige Eigenwertgleichung, auch zeitunabhängige Diracgleichung genannt, lautet $D_{0}\psi =E\psi$ wobei $E$ die möglichen Energien des Teilchens sind. Diese Gleichung kann sowohl für positive als auch für negative $E$, genauer für $E\in (-\infty ,-mc^{2}]\cup [mc^{2},\infty )$ erfüllt werden. Das Auftreten von negativen Energieeigenwerten war hier zunächst verblüffend. Eine Erklärung dafür gibt Dirac mit seiner Theorie vom Dirac-See, durch die auch die Existenz von Antimaterie postuliert wird.

Im masselosen Fall ($m=0$), d. h. der Summand mit $\beta$ tritt nicht auf, heißt die Diracgleichung auch Weylgleichung.

Kovariante Schreibweise

Eine besonders elegante Schreibweise lässt sich durch die Einführung von Dirac-Matrizen $\gamma ^{\mu }$ erzielen:

$\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-{\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =\left(i\partial \!\!\!/-{\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0$

Nach dem ersten Gleichheitszeichen wurde hierbei die Feynmansche Slash-Schreibweise $a\!\!\!/=\gamma ^{\mu }a_{\mu }$ verwendet, wobei entsprechend der einsteinschen Summenkonvention über die $\mu$ von 0 bis 3 zu summieren ist.

Sonstiges zur freien Dirac-Gleichung

In gewisser Weise kann man die Diracgleichung als Quadratwurzel der Klein-Gordon-Gleichung auffassen. Genauer gesagt: Wendet man den komplex-konjugierten Dirac-Operator $\left(-i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-{\frac {mc}{\hbar }}\right)$ auf die Dirac-Gleichung an, so entsteht für jede Komponente $\psi _{i}$ des Dirac-Spinors eine Klein-Gordon-Gleichung:

$\left(\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right)\psi _{i}=0$

Die elektromagnetische Wechselwirkung

Minimale Kopplung

In der Quantenmechanik wird die Anwesenheit eines elektromagnetischen Feldes durch die folgenden Substitutionen des Impuls- und Zeitentwicklungsoperators in der Schrödingergleichung berücksichtigt:

${\vec {p}}\rightarrow {\vec {p}}-{\frac {e}{c}}{\vec {A}}$; $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\rightarrow i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-e\Phi$

Dabei ist $e$ die elektrische Ladung des Teilchens, ${\vec {A}}$ das Vektorpotenzial des elektromagnetischen Feldes ${\vec {B}}=\operatorname {rot} {\vec {A}}$ und $\Phi$ das skalare Potenzial des elektrischen Feldes ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\Phi$.

Damit ergibt sich die Diracgleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld:

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(c{\vec {\alpha }}({\vec {p}}-e{\vec {A}})+\beta mc^{2}+e\Phi \right)\psi$

Setzt man das elektrische Potenzial $\Phi =0$ und geht in den nicht-relativistischen Grenzfall über, so wird aus der Dirac-Gleichung in obiger Form die Pauli-Gleichung, die das Verhalten eines Spin-½-Teilchens in einem magnetischen Feld beschreibt. Dies war einer der ersten großen Erfolge der Dirac-Theorie, insbesondere, da der Landé-Faktor des Elekrons korrekt vorhergesagt werden konnte (siehe unten).

In der kovarianten Formulierung der Elektrodynamik werden die beiden Potenziale ${\vec {A}}$ und $\Phi$ zu einem 4-Vektor $A^{\mu }=(\Phi /c,{\vec {A}})$ zusammengefasst. Dann kann die minimale Kopplung durch den Übergang

$\partial _{\mu }\rightarrow D_{\mu }=\partial _{\mu }+ieA_{\mu }$

hergestellt werden.

Landé-Faktor

Für mehr Informationen siehe Landé-Faktor

Ein geladenes Teilchen der Masse $m$ mit der Ladung $e$ hat ein magnetisches Moment ${\vec {\mu }}$, das im wesentlichen das Verhalten des Teilchens in einem Magnetfeld bestimmt. Ein magnetisches Moment kann zum Beispiel durch den Bahndrehimpuls ${\vec {L}}$ des Teilchens erzeugt werden:

${\vec {\mu }}={\frac {e}{2m}}{\vec {L}}$

Auch der Spin ${\vec {s}}$ eines Teilchens trägt zum magnetischen Moment bei:

${\vec {\mu }}=g{\frac {e}{2m}}{\vec {s}}$

Der Faktor $g$ wird Landé-Faktor (auch g-Faktor oder gyromagnetisches Moment) genannt. Er gibt die relative Stärke des von Bahndrehimpuls und Spin erzeugten magnetischen Moments an.

Der Landé-Faktor eines Elektrons beträgt $g=2$. Diese Tatsache kann in der nicht-relativistischen Quantenmechanik nicht erklärt werden und muss als Annahme in die Pauli-Gleichung gesteckt werden. Bei der Ableitung der Pauli-Gleichung als nicht-relativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung kommt dieser Faktor jedoch automatisch richtig heraus.

Präzisionsmessung zeigen, dass der wahre g-Faktor des Elektrons von 2 abweicht und in Wahrheit ungefähr $g=2,0023$ beträgt. Diese Abweichung kann im Rahmen der Quantenelektrodynamik als Ergebnis der Wechselwirkung des Elektrons mit seinem eigenen Strahlungsfeld verstanden und mit großer Genauigkeit theoretisch vorhergesagt werden.

Artikel

• P.A.M. Dirac, Proc. R. Soc. A117 610 (1928)
• P.A.M. Dirac, Proc. R. Soc. A126 360 (1930)
• C.D. Anderson, Phys. Rev. 43, 491 (1933)
• R. Frisch and O. Stern, Z. Phys. 85 4 (1933)

Bücher

• Bjorken, J. D. & Drell, S., Relativistische Quantenmechanik (ISBN 3-411-00098-8)