Matrixnorm

Die Matrixnorm ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Matrixnormen sind Normen auf der dem Vektorraum der (n x n)-Matrizen. Sie haben einige nützliche Eigenschaften, so ist beispielsweise der Spektralradius einer Matrix, also der Betrag des betragsgrößten Eigenwerts, niemals größer als der Wert einer beliebigen submultiplikativen Matrixnorm. Insbesondere in der numerischen Mathematik werden die Matrixnormen verwendet.

Definition

Sei $K$ ein Körper so wird mit $K^{n\times n}$ die Menge der $(n\times n)$ -Matrizen mit Einträgen aus dem Körper $K$ bezeichnet. In vielen Fällen wird für $K$ der Kröper der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ verwendet. Eine Matrixnorm $\|.\|$ ist nun eine Norm auf dem Raum $K^{n\times n}$ . Das heißt $\|.\|$ ist eine Abbildung

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \|\cdot\|: K^{n \times n} \to \R,}

die die folgenden drei Eigenschaften

$\|M\|=0\;\Rightarrow \;x=0$ (Definitheit);
$\|\alpha \cdot M\|=|\alpha |\,\|M\|$ (absolute Homogenität);
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \|M + N\| \leq \|M\| + \|N\|} (die Dreiecksungleichung).

für alle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle M,\, N \in K^{n \times n}} und $\alpha \in \mathbb {R}$ erfüllt. Teilweise wird noch ein vierte Eigenschaft gefordert, so wird in manchen Quellen noch gefodert, dass die Matrixnorm submultiplikativ ist, das heißt es gilt zusätzlich noch

$\|M\cdot N\|\leq \|M\|\|N\|.$

Zusammenhang zur Operatornorm

Eine Matrixnorm $\|\cdot \|$ heißt induziert durch eine Norm $\|\cdot \|_{V}$ , wenn sie bezüglich dieser als Operatornorm dargestellt werden kann, also falls

\|M\|=\sup _{x\not =0}{\frac {\|Mx\|_{V}}{\|x\|_{V}}}=\sup _{\|x\|_{V}=1}\|Mx\|_{V}

gilt. In lokal kompakten Vektorräumen (z.B. endlichdimensionalen Vektorräumen) wird das Supremum angenommen, das heißt $\sup$ kann durch $\max$ ersetzt werden, weil die Normabbildung stetig und die Menge der Einheitsvektoren im endlichdimensionalen Vektorraum $K^{n}$ kompakt ist. Eine Matrixnorm, die auch eine Operatornorm ist, ist stets submultiplikativ. Um die Norm $\|\cdot \|_{V}$ besser von der Matrixnorm zu unterscheiden wird diese ab hier als Vektornorm bezeichnet.

Verträglich mit einer Vektornorm

Eine Matrixnorm $\|\cdot \|$ heißt vergräglich mit einer Vektornorm $\|\cdot \|_{V}$ , wenn die Ungleichung

\|Mx\|_{V}\leq \|M\|\cdot \|x\|_{V}

gilt. Jede Matrixnorm, die durch eine Vektornorm induziert wird, ist mit dieser verträglich.

Beispiele

Alle hier betrachteten Matrizen haben sind quadratisch und haben n Zeilen beziehungungsweise n Spalten.

Spaltensummennorm

Als Spaltensummennorm bezeichnet man die Norm

\left\|M\right\|_{1}=\max _{j}{\sum _{i=1}^{n}\left|m_{ij}\right|},

dabei sind die $m_{ij}$ die Einträge von $M.$ Diese Matrixnorm ist durch die Betragssummennorm induziert, denn es gilt

\max _{\|x\|_{1}=1}\|Mx\|_{1}=\max _{\|x\|_{1}=1}\left|\sum _{k=1}^{n}m_{ik}x_{k}\right|=\max _{\pm e_{j}}\left|\sum _{j=1}^{n}m_{ij}e_{j}\right|=\max _{j}\sum _{i=1}^{n}\left|m_{ij}\right|=\|M\|_{1}.

Mit $e_{j}$ wird der j-te Einheitsvektor bezeichnet.

Spektralnorm

Als Spektralnorm wird die Norm

\left\|M\right\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\max }(M^{H}\cdot M)}}

bezeichnet. Dabei ist $M^{H}$ die zu $M$ adjungierte Matrix und $\lambda _{\max(}M^{H}\cdot M)$ der betragsmäßig größte Eigenwert des Matrixprodukts $M^{H}\cdot M\,.$ Diese Matrixnorm ist durch die euklidische Norm induziert.

Zeilensummennorm

Die Zeilensummennorm ist durch

\left\|M\right\|_{\infty }=\max _{i}{\sum _{j=1}^{n}\left|m_{ij}\right|}

definiert, wobei die $m_{ij}$ wieder die Einträge von $M$ sind. Induziert wird diese Matrixnorm durch die Maximumsnorm.

Gesamtnorm

Als Gesamtnorm wird die Matrixnorm

\|M\|=n\cdot \max _{i,j\in \{1,\dots ,n\}}|m_{ij}|

bezeichnet. Sie ist verträglich mit der Betragssummennorm, der euklidischen Norm und der Maximumsnorm, außerdem ist sie submultiplikativ.

Frobeniusnorm oder Schurnorm

Die Frobeniusnorm nach dem Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius benannt ist durch

\|M\|_{\rm {F}}={\sqrt {\sum _{i,j}|m_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {tr} \left(M^{H}\cdot M\right)}}={\sqrt {\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}\left(M^{H}\cdot M\right)}}

,

definiert, dabei ist $\operatorname {tr} (M^{H}\cdot M)$ die Spur (englisch trace) von $M^{H}\cdot M$ und $\textstyle (\lambda _{j}\,(M^{H}\cdot M))_{j=1\,\dots \,n}$ ist die Liste aller Eigenwerte von $M^{H}\cdot M$ mit ihren algebraischen Vielfachheiten. Dies Norm heißt auch Schurnorm, sie ist mit der euklidischen Norm verträglich und submultiplikativ.