Implizite Differentiation

Die Implizite Differentiation (auch implizite Ableitung) ist eine Möglichkeit, eine Funktion, die nicht explizit durch einen Term, sondern nur implizit durch eine Gleichung gegeben ist, mit Hilfe der mehrdimensionalen Differentialrechnung abzuleiten. Sie kann oft auch benutzt werden um die Ableitung von Funktionen, die zwar explizit gegeben sind, in dieser Form aber schwierig abzuleiten sind, zu bestimmen.

Regel

Erfüllt die differenzierbare Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ die Gleichung

$F\left(x,f\left(x\right)\right)=0$,

wobei auch $F\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\ F\colon (x,y)\mapsto F(x,y)$, eine differenzierbare Funktion ist, so bedeutet das, dass die Funktion $x\mapsto F\left(x,f\left(x\right)\right)$ konstant ist. Durch Ableiten mithilfe der Verallgemeinerten Kettenregel erhält man dann

$0={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}F(x,f(x))={\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}\,f'=F_{x}+F_{y}\,f'$.

Hierbei ist $F_{x}={\tfrac {\partial F}{\partial x}}$ und $F_{y}={\tfrac {\partial F}{\partial y}}.$ Zur Vereinfachung der Schreibweise wurden die Funktionsargumente weggelassen.

Gilt $F_{y}(x_{0},y(x_{0}))\neq 0$ an einer Stelle $x_{0}$, so gilt dies auch für alle $x$ in einer Umgebung von $x_{0}$ und man kann die Gleichung nach $\,f'$ auflösen:

$f'=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}}$

bzw. ausführlich

$f'(x)=-{\frac {F_{x}(x,f(x))}{F_{y}(x,f(x))}}$

Beispiele

Beispiel 1

Die Funktion $f\left(x\right)=x^{x}$ kann mit den herkömmlichen Ableitungsregeln nicht ohne Umformungen abgeleitet werden, da sowohl Exponent als auch Basis der Potenz variabel sind. Zunächst kann man durch Logarithmieren den Exponenten eliminieren:

$\ln f(x)=x\ln x{\mathsf {}}$

Nun leitet man implizit ab, indem man beide Seiten herkömmlich nach x ableitet:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\ln f(x))={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x\ln x)$

Die linke Seite kann mit der Kettenregel berechnet werden:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}(\ln y)\cdot f'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x\ln x)$

Hierbei ist $y=f(x)$. Mit der Regel für die Ableitung des Logarithmus und der Produktregel erhält man:

${\frac {1}{y}}\,f'(x)=\ln x+x{\frac {1}{x}}$

Löst man nach $f'(x)$ auf und setzt für $y$ wieder $f(x)=x^{x}$ ein , so erhält als Lösung:

$f'(x)=y\,(\ln x+1)=x^{x}\left(\ln x+1\right)$.

Beispiel 2

Der Kreis mit Radius $r$ ist gegeben durch die Gleichung $x^{2}+y^{2}=r^{2}$. Teile davon kann man schreiben als Graph einer Funktion $y=f(x)$. Deren Ableitung lässt sich mit Hilfe der impliziten Differentiation wie folgt berechnen:

In die definierende Gleichung setzt man $y=f(x)$ ein:

$x^{2}+f(x)^{2}=r^{2}$

Durch Ableiten dieser Gleichung erhält man

$2\,x+2\,f(x)\,f'(x)=0$.

Auflösen nach $f'(x)$ ergibt:

$f'(x)=-{\frac {x}{f(x)}}=-{\frac {x}{y}}$

Daraus folgt auch, dass die Tangente an den Kreis im Punkt $(x,y)$ die Steigung $-{\frac {x}{y}}$ hat.