Ising-Modell

Das Ising-Modell ist ein von Ernst Ising entwickeltes Modell der Theoretischen Physik, welches den Ferromagnetismus beschreibt. Das Modell nimmt an, dass die Spins der einzelnen Elektronen nur zwei diskrete Zustände auf und ab annehmen können.

Der allgemeine Hamiltonian ist gegeben durch: ${\hat {H}}=-\sum _{<ij>}\epsilon _{ij}s_{i}s_{j}-H\sum _{i=1}^{N}s_{i}$

Wobei $\epsilon _{ij}$ , die Wechselwirkungsstärke zwischen den Spins, oft vereinfacht als gleich für alle Spins angenommen wird. Die Wechselwirkungsenergie parallel ausgerichteter Elektronen ist geringer als die antiparallel stehender. Daher gibt es ein Bestreben der Gleichausrichtung der Elektronen. Dem entgegen stehen die thermischen Fluktuationen durch die Temperatur.

Man beobachtet einen Phasenübergang zwischen Para- und Ferromagnetismus: bei niedrigen Temperaturen stehen alle Elektronen parallel, bei hohen Temperaturen beobachtet man thermisches Rauschen. Die kritische Temperatur, an dem der Übergang stattfindet, heißt Curie-Temperatur. Am Phasenübergang selbst ist die Korrelationslänge unendlich, was Anlass für die Einführung der Renormierungsgruppentheorie zur Beschreibung von Phasenübergängen war.

Bei der eindimensionalen Ising-Kette beobachtet man keinen Phasenübergang. Dafür lässt es sich sowohl mit als auch ohne äußeres Magnetfeld exakt lösen, vorausgesetzt man betrachtet nur die Wechselwirkung zwischen nächsten Nachbarn. Die exakte Lösung des zweidimensionalen Ising-Gitters wurde zum ersten Mal 1944 von Lars Onsager bestimmt und gilt nur bei Abwesenheit eines äußeren Magnetfeldes. Für das dreidimensionale Ising-Modell gibt es keine analytische Lösung, sondern man muss auf die Molekularfeldnäherung, die Landau-Näherung, Metropolis-Monte-Carlo-Simulationen oder andere numerische Lösungverfahren zurückgreifen.

Das Ising-Modell war die Grundlage vieler Erweiterungen und Basis vielfältiger Erkenntnisse der Computerphysik.

Weblinks

http://www.physik.tu-dresden.de/itp/members/kobe/isingphbl/ - Das Ising-Modell - gestern und heute
http://www.g-pipa.de/Projekte/theoretische_Physik/seminar/seminar.html - ergebnisorientierte, theoretische Einführung zum Ising-Modell mit Überblick über numerische Lösungsverfahren
http://wwwcp.tphys.uni-heidelberg.de/statmech/index.php - Skript über statistische Mechanik (enthält u.a. Ising-Modell, Landau-Theorie, Metropolis Verfahren)