Cauchy-Produktformel

Die Cauchy-Produktformel, auch Cauchy-Produkt, gibt eine Multiplikation von Potenzreihen an. Analog zu Polynomen werden die Potenzreihen "ausmultipliziert", indem man sich eine Koeffizientenfolge konstruiert. Es seien $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen.

Die Folge $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sei wie folgt definiert: $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{a_{k}b_{n-k}}$.

Wenn die Reihen $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ und $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$ absolut konvergieren, dann konvergiert auch $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$ absolut.

Insbesondere gilt dann:

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{a_{k}b_{n-k}}$

Damit erklärt sich der Sinn dieser Multiplikation, nämlich dass die Grenzwerte erhalten bleiben. Falls die Potenzreihen nur endlich viele Koeffizienten ungleich Null haben, fällt das Cauchyprodukt mit dem Polynomprodukt zusammen.