Sinus und Kosinus

Die Sinusfunktion ist eine trigonometrische Winkelfunktion. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels das Verhältnis von Gegenkathete (das ist jene Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Hypotenuse.

Ein Rechtwinkliges mit dem rechten Winkel in C

Ist c die Hypotenuse und liegt der Winkel α der Seite a gegenüber, dann gilt:

$\sin \alpha ={\frac {a}{c}}$

Funktionswert

Der Wert des Sinus schwankt zwischen -1 und 1. Bei 0° ist sein Wert 0, im Intervall (0°,180°) ist er positiv (mit dem Maximum 1 bei 90°) und im Intervall (180°,0°) negativ (mit Minimum -1 bei 270°). Danach ist er periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π Radiant). Stellt man die Funktion graphisch dar, erhält man eine Sinuswelle. Dieses Verhalten kann auch sehr schön am Einheitskreis dargestellt werden.

Zusammenhang mit dem Kosinus

sin α = cos(α-90°)

sin² α + cos² α = 1 (Satz des Pythagoras)

sin' α = cos α (Ableitung des Sinus)

Reihenentwicklung des Sinus

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}={\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-...=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}-...$

Dieses Ergebnis bekommt man auch als Taylorreihe um 0. Zur näherungsweisen Berechnung des Sinus eignen sich endliche Teilsummen dieser Reihe. Im Artikel Taylor-Formel sind einige dieser so genannten Taylorpolynome grafisch dargestellt und eine Näherungsformel mit Genauigkeitsangabe angegeben.

Siehe auch: Zusammenhang mit den Hyperbelfunktionen