Folgen in den reellen Zahlen
Die Inversen :
a
i
=
1
i
⇒
a
1
=
1
,
a
2
=
1
2
=
0
,
5
,
a
3
=
1
3
=
0
,
3
¯
,
…
{\displaystyle a_{i}={1 \over i}\Rightarrow a_{1}=1,\ a_{2}={\frac {1}{2}}=0,\!5,\ a_{3}={\frac {1}{3}}=0,\!{\bar {3}},\ \dots }
Eine rekursiv definierte Folge rationaler Zahlen, die gegen √2 konvergiert:
a
1
=
2
,
a
i
+
1
=
1
a
i
+
a
i
2
⇒
a
1
=
2
,
a
2
=
3
2
=
1
,
5
,
a
3
=
17
12
=
1
,
41
6
¯
,
…
{\displaystyle a_{1}=2,a_{i+1}={\frac {1}{a_{i}}}+{\frac {a_{i}}{2}}\Rightarrow a_{1}=2,\ a_{2}={\frac {3}{2}}=1,\!5,\ a_{3}={\frac {17}{12}}=1,\!41{\bar {6}},\ \ldots }
Folgen in den ganzen Zahlen
Die natürlichen Zahlen:
a
i
=
i
⇒
a
1
=
1
,
a
2
=
2
,
a
3
=
3
,
…
{\displaystyle a_{i}=i\Rightarrow a_{1}=1,\ a_{2}=2,\ a_{3}=3,\ \dots }
Die Dreieckszahlen:
a
i
=
i
(
i
+
1
)
2
⇒
a
1
=
1
,
a
2
=
3
,
a
3
=
6
,
a
4
=
10
,
…
{\displaystyle a_{i}={\frac {i(i+1)}{2}}\Rightarrow a_{1}=1,\ a_{2}=3,\ a_{3}=6,\ a_{4}=10,\ \dots }
Die Quadrate der natürlichen Zahlen:
a
i
=
i
2
⇒
a
1
=
1
,
a
2
=
4
,
a
3
=
9
,
…
{\displaystyle a_{i}=i^{2}\Rightarrow a_{1}=1,\ a_{2}=4,\ a_{3}=9,\ \dots }
Die Folge der ganzzahligen Zweierpotenzen:
a
i
=
2
i
⇒
a
0
=
1
,
a
1
=
2
,
a
2
=
4
,
a
3
=
8
,
a
4
=
16
,
…
{\displaystyle a_{i}=2^{i}\Rightarrow a_{0}=1,\ a_{1}=2,\ a_{2}=4,\ a_{3}=8,\ a_{4}=16,\ \dots }
Die Primzahlen :
a
1
=
2
,
a
2
=
3
,
a
3
=
5
,
a
4
=
7
,
a
5
=
11
,
…
{\displaystyle a_{1}=2,\ a_{2}=3,\ a_{3}=5,\ a_{4}=7,\ a_{5}=11,\ \dots }
Die Fibbonacci - Folge:
a
0
=
0
,
a
1
=
1
,
a
2
=
1
,
a
3
=
2
,
a
4
=
3
,
a
5
=
5
,
…
{\displaystyle a_{0}=0,\ a_{1}=1,\ a_{2}=1,\ a_{3}=2,\ a_{4}=3,\ a_{5}=5,\ \dots }
Die ungeraden natürlichen Zahlen :
a
i
=
2
⋅
i
−
1
⇒
a
1
=
1
,
a
2
=
3
,
a
3
=
5
,
…
{\displaystyle a_{i}=2\cdot i-1\Rightarrow a_{1}=1,\ a_{2}=3,\ a_{3}=5,\ \dots }
Eine alternierende Folge:
a
i
=
(
−
1
)
i
⇒
a
1
=
−
1
,
a
2
=
1
,
a
3
=
−
1
,
a
4
=
1
,
…
{\displaystyle a_{i}=(-1)^{i}\Rightarrow a_{1}=-1,\ a_{2}=1,\ a_{3}=-1,\ a_{4}=1,\ \ldots }
a
i
=
{
1
,
…
,
i
}
⇒
a
1
=
{
1
}
,
a
2
=
{
1
,
2
}
,
a
3
=
{
1
,
2
,
3
}
,
…
{\displaystyle a_{i}=\{1,\dots ,i\}\Rightarrow a_{1}=\{1\},\ a_{2}=\{1,2\},\ a_{3}=\{1,2,3\},\ \dots }
