Logarithmus

Wenn a^b = c dann ist log_a(c) = b, wobei a die Basis ist.

Der Logarithmus ist also die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion:

y = ex => x = loge(y) =: ln(y), wobei e die Eulersche Zahl ist.

Der Logarithmus zur Basis e wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit ln abgekürzt.

Es gilt:

loga(x) = logb(x) / logb(a) (Umrechnung einer Basis in eine andere)

D.h. hat man die Möglichkeit den Logarithmus zur Basis 10 auszurechnen, so kann man den Logarithmus zu jeder beliebigen Basis berechnen.

Der Logarithmus einer Zahl c zu einer Basis b gibt in gewisser Weise an, wieviele Stellen diese Zahl hat. Beispielsweise ist

• log₁₀(1) = 0

• log₁₀(10) = 1

• log₁₀(100) = 2

• log₁₀(1000) = 3

• log₁₀(10000) = 4

Anwendung von Logarithmen:

pH = Säurewert von chemischen Lösungen

dB = Dezibel = Messung der Lautstärke

bit = Informationseinheit = Messung der Informationsmenge

Vor der Erfindung des Taschenrechners wurden Logarithmen dazu benutzt Multiplikationen zu Additionen und Divisionen zu Subtraktionen zu vereinfachen. Als Hilfsmittel verwendete man hierzu oftmals Rechenschieber.

Abkürzungen

exp: Exponentialfunktion

ln = log_e: Natürlicher Logarithmus zur Basis e

lg = log₁₀: Logarithmus zur Basis 10

lb = ld = log₂: Logarithmus zur Basis 2, binärer Logarithmus, dualer Logarithmus

log_b: allgemeiner Logarithmus mit der beliebigen Basis b

Beispiel:

log₁₀(100) = 2 , denn 10² = 100

log₂(8) = 3 , denn 2³ = 8

Beachte:

Der Logarithmus ist für 0 und negative Zahlen nicht definiert!

y kann von - Unendlich bis + Unendlich reichen

x kann nur eine positive Zahl sein!

Bildbeispiele

• http://home.t-online.de/home/0926161717-0002/log2.gif

• Das Bild stammt von rho , es ist frei im Sinne von GNU

Rechenregeln

logb(u*v) = logb(u)+logb(v)

Beispiel:

log10(10*100) = log10(10)+log10(100)     = 1+2 = 3

logb(u/v) = logb(u)-logb(v)

Beispiel:

log10(100/10) = log10(100)-log10(10)     = 2-1 = 1

logb(uz) = z*logb(u)

Beispiel:

log10(1002) = 2*log10(100) = 2*2 = 4

logb (u1/z) =   logb(z√u) = 1/z * logb(u)

Beispiel:

log10(2√100) =     1/2*log10(100) = 1/2*2 = 1

loga(1) = 0

Beispiel:

log10(1) = 0        log2(1) = 0            loge(1) = 0

loga(a) = 1

Beispiel:

log10(10) = 1        log2(2) = 1            loge(e) = 1

loga(1/x) = -loga(x)

Beispiel:

log10(1/100) = -log10(100) = -2

log2(1/8) = -log2(8) = -3

Basisumrechnung

logc(a) = logb(a) / logb(c)

Beispiel:

log10(8) = log2(8) / log2(10)  ≈  ca. 3 / 3,32 ≈ ca. 0,90

Links

• Logarithmusrechner mit Quelltext http://www.fh-kaernten.ac.at/%7Epester/scripts/Logarithmus1.htm

• http://iva.uni-ulm.de/physik/REPETITORIUM/MATHEMATIK/2/02.html

• http://home.t-online.de/home/0926161717-0002/log.htm

Literatur

Napier

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