Potenz (Mathematik)

Das Potenzieren (von lat. potentia ‚Vermögen‘, ‚Macht‘ als Lehnübersetzung aus dem grch. δύναμις, das in der antiken Geometrie spätestens seit Platon auch die Bedeutung ‚Quadrat‘ hatte) ist wie das Multiplizieren seinem Ursprung nach eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte mathematische Rechenoperation. Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt multipliziert.

Definition

Natürliche Exponenten

Die Potenz $a^{n}$ wird für reelle oder komplexe Zahlen $a$ und natürliche Zahlen $n$ definiert durch

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\uce“): {\displaystyle \begin{matrix} a^n = \uce{{ a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a. }}_{{n\ \mathrm{Faktoren}}} \end{matrix} }

Man spricht diese Rechenoperation als „a hoch n“, „a zur n-ten Potenz“ oder kurz „a zur n-ten“. Im Fall $n=2$ ist auch „a (zum) Quadrat“ und im Fall $n=3$ auch „a (zum) Kubik“ üblich.

Diese Definition lässt sich nicht nur auf reelle oder komplexe Zahlen, sondern auch auf beliebige multiplikative Monoide anwenden.

Potenzfunktionen mit positivem Exponenten graphisch

Potenzfunktionen mit negativem Exponenten graphisch

Wenn hochgestelltes Schreiben nicht möglich ist (zum Beispiel in einem ASCII-Text), verwendet man oft die Schreibweise a^b (beispielsweise in Algol 60, in TeX-Quellcode oder in Computeralgebrasystemen wie Maple), gelegentlich auch a**b (beispielsweise in Fortran, Perl oder Python).

Zehnerpotenzen werden in der elektronischen Datenverarbeitung häufig mit e oder E dargestellt.
Beispiel: 1,55 E 5 := 1,55 · 10⁵ = 155000.

Die folgende Modifikation erleichtert die Behandlung des Sonderfalles $n=0$:

Die Potenzschreibweise bedeutet „Multipliziere die Zahl 1 mit der Grundzahl so oft, wie die Hochzahl angibt“, also

${\begin{matrix}a^{n}=1\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n\ \mathrm {Faktoren} }\end{matrix}}$

Die Hochzahl 0 sagt aus, dass die Zahl 1 keinmal mit der Grundzahl multipliziert wird und allein stehen bleibt, so dass man das Ergebnis 1 erhält.

${\begin{aligned}a^{2}&=1\cdot a\cdot a\\a^{1}&=1\cdot a\\a^{0}&=1\end{aligned}}$

Ganze negative Exponenten

Negative Hochzahlen bedeuten, dass man die zur Multiplikation inverse Operation (Division) durchführen soll. Also „Dividiere die Zahl 1 durch die Grundzahl so oft, wie die Hochzahl angibt“.

${\begin{matrix}a^{-n}=1:\underbrace {a:a:a:\ldots :a} _{n\ \mathrm {Divisoren} }\end{matrix}}$

Für eine reelle Zahl $a$ und eine natürliche Zahl $n$ wird definiert

$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$

Die analoge Definition wird auch in allgemeinerem Kontext angewandt, wann immer eine Multiplikation und inverse Elemente zur Verfügung stehen, beispielsweise bei invertierbaren Matrizen.

Rationale Exponenten

Sei $r$ eine rationale Zahl und $r=m/n$ mit $m\in \mathbb {Z} ,\;n\in \mathbb {N}$ ihre gekürzte Bruchdarstellung. Für beliebige positive reelle $a$ definiert man

$a^{r}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$ $\qquad$ (oder, was äquivalent ist, $a^{r}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}$).

Man kann beweisen, dass man in Wirklichkeit in dieser Formel beliebige Bruchdarstellungen von $r$ benutzen kann.

Im Einklang mit ihr nimmt man an, dass $0^{r}=0$ für $r>0$ ist und $0^{r}$ nicht existiert, wenn $r<0$ ist.

Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen mit ungeraden Wurzelexponenten zulässt, dann kann man diese Definition auf negative Basen und solche rationale Exponenten erweitern, deren gekürzte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben. Dazu gehören auch Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten, weil die Nenner in diesem Fall gleich $1$ sind.

Für den Fall $a<0$ kann man beweisen, dass man bei Berechnungen von $a^{r}$ alle Bruchdarstellungen $r=m/n$ mit ungeraden $n$ benutzen darf. Aber bei Benutzung von Bruchdarstellungen mit geraden $n$ kann ein Fehler entstehen. Zum Beispiel gilt:

$-2=(-8)^{1/3}={\sqrt[{3}]{-8}}={\sqrt[{9}]{(-8)^{3}}}\neq {\sqrt[{6}]{(-8)^{2}}}=2$.

Reelle Exponenten

Seien jetzt $a>0,\;q$ eine beliebige irrationale Zahl und $(r_{n})$ eine beliebige Folge, die gegen $q$ konvergiert. Dann definiert man:

$a^{q}=\lim _{n\to \infty }a^{r_{n}}$.

Zum Beispiel ist $2^{\pi }$ gleich dem Grenzwert der Folge $2^{3},\;2^{3,1},\;2^{3,14},\dots$. Man kann beweisen, dass diese Definition korrekt ist, d.h. dieser Grenzwert nicht von der Auswahl der Folge $(r_{n})$ abhängig ist.

Diese Definition lässt sich nicht auf den Fall $a<0$ erweitern, weil die letzte Behauptung in diesem Fall falsch ist. Also sind die Potenzen mit positiven Basen für alle reelle Exponenten definiert. Im Unterschied davon sind die Potenzen mit negativen Basen nur für solche rationale Exponenten definiert, deren gekürzte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben. Alle Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten gehören dazu.

Potenzgesetze

Um die nächste Tabelle nicht zu überladen, betrachten wir nur Potenzen mit reellen Basen, die nicht gleich $0$ sind. Enthält aber jedes der unten angeführten Gesetze keine negativen Exponenten, dann ist es auch für Potenzen mit der Basis $0$ gültig. Wenn wir über rationale Zahlen mit geraden oder ungeraden Nennern sprechen, dann sind die Nenner der gekürzten Bruchdarstellungen dieser Zahlen gemeint.

$a^{0}=1$	für alle $a\neq 0$ (Anmerkungen zu „null hoch null“ siehe unten)
$a^{-r}={\frac {1}{a^{r}}}$	für beliebige reelle $r$, falls $a>0$ ist; für beliebige rationale $r$ mit ungeraden Nennern, falls $a<0$ ist.
$a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}$	für beliebige natürliche $n$ und ganze $m$, falls $a>0$ ist; für beliebige natürliche ungerade $n$ und ganze $m$, falls $a<0$ ist.
$a^{r+s}=a^{r}\cdot a^{s}$	für beliebige reelle $r,\;s$, falls $a>0$ ist; für beliebige rationale $r,\;s$ mit ungeraden Nennern, falls $a<0$ ist.
$a^{r-s}={\frac {a^{r}}{a^{s}}}$	für beliebige reelle $r,\;s$, falls $a>0$ ist; für beliebige rationale $r,\;s$ mit ungeraden Nennern, falls $a<0$ ist.
$(a\cdot b)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}$	für beliebige reelle $r$, falls $a>0,\;b>0$ sind; für beliebige rationale $r$ mit ungeraden Nennern, falls mindestens eine der Zahlen $a,\;b$ negativ ist.
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}$	für beliebige reelle $r$, falls $a>0,\;b>0$ sind; für beliebige rationale $r$ mit ungeraden Nennern, falls mindestens eine der Zahlen $a,\;b$ negativ ist.
$(a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}$	für beliebige ganze $r,\,s$, falls $a\neq 0$ ist; für beliebige reelle $r,\;s$, falls $a>0$ ist; für beliebige solche rationale $r,\;s$, dass $r$ und $r\cdot s$ ungerade Nenner haben und $((-1)^{r})^{s}=(-1)^{r\cdot s}$ gilt, falls $a<0$ ist.
$(a^{r})^{s}=-a^{r\cdot s}$	für $a<0$ und beliebige solche rationale $r,\;s$, dass $r$ und $r\cdot s$ ungerade Nenner haben und $((-1)^{r})^{s}=-(-1)^{r\cdot s}$ gilt.

Bemerkung. Ist mindestens einer der Exponenten $r,\;s$ irrational oder sind beide rational, aber hat mindestens eine der Zahlen $r$ oder $r\cdot s$ einen geraden Nenner, dann ist einer der Ausdrücke $(a^{r})^{s}$ oder $a^{r\cdot s}$ für $a<0$ undefiniert. Ansonsten sind beide definiert und stimmen entweder überein oder unterscheiden sich nur um ihre Vorzeichen. Für beliebige $r,\;s$, falls $a>0$ ist, und für ganze $r,\;s$, falls $a\neq 0$ ist, stimmen sie immer überein. Für $a<0$ und nichtganze rationale $r,\;s$ sind diese beiden Fälle möglich. Welcher davon Platz hat, hängt von der Anzahl der Zweien in der Primzahlzerlegung des Zählers von $r$ und des Nenners von $s$ ab. Um das richtige Vorzeichen in der rechten Seite der Formel $(a^{r})^{s}=\pm \,a^{r\cdot s}$ zu erkennen, ist es ausreichend, in diese Formel $a=-1$ einzusetzen. Das Vorzeichen, für das sie bei $a=-1$ gültig ist, bleibt richtig für alle $a<0$ und gegebene $r,\;s$. Gilt $(a^{r})^{s}=-a^{r\cdot s}$ für $a<0$, dann gilt $(a^{r})^{s}=|a|^{r\cdot s}$ für alle $a\neq 0$ (und auch für $a=0$, falls alle Exponenten positiv sind).

Zum Beispiel gilt es $((-1)^{2})^{\frac {1}{2}}=1$ und $(-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=-1$. Darum sind ${\sqrt {a^{2}}}=(a^{2})^{\frac {1}{2}}=-a^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=-a$ für alle $a<0$ und ${\sqrt {a^{2}}}=|a|$ für alle reelle $a$ gültig.

Das Potenzieren ist weder kommutativ, denn beispielsweise gilt $2^{3}=8\not =9=3^{2}$, noch assoziativ, denn beispielsweise gilt $\left(3^{1}\right)^{3}=27\neq 3=3^{\left(1^{3}\right)}$.

Die Schreibweise $a^{b^{c}}$ ohne Klammern bedeutet $a^{(b^{c})}$.

Potenzen komplexer Zahlen

Der erste Schritt zur Definition von Potenzen mit komplexen Basen und Exponenten besteht in Fortsetzung der Funktion $e^{x}$ auf die Menge $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen. Dafür gibt es unterschiedliche Möglichkeiten. Zum Beispiel kann man die Reihe $e^{z}=\sum _{0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$ benutzen, die für alle $z\in \mathbb {C}$ konvergiert und für alle $z=x\in \mathbb {R}$ die Funktion $e^{x}$ angibt. Mithilfe der Operationen mit Reihen beweist man danach, dass $e^{z_{1}+z_{2}}=e^{z_{1}}e^{z_{2}}$ für beliebige $z_{1},\;z_{2}\in \mathbb {C}$ und die eulersche Formel $e^{i\,y}={\cos y}+i\,{\sin y}$ für beliebige $y\in \mathbb {R}$ gelten. Daraus folgt die Formel $e^{x+i\,y}=e^{x}\,(\cos {y}+i\,\sin {y})$, die man auch für die Definition von $e^{z}$ benutzen kann. Diese Formel zeigt, dass die Wertemenge von $e^{z}$ gleich $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ ist und dass diese Funktion periodisch mit Perioden $2k\pi i$ ist, wobei $k\in \mathbb {Z}$ gilt.

Darum ist ihre Umkehrfunktion $\mathrm {Ln} \;z$ mehrdeutig und für alle $z\neq 0$ definiert. Sie kann mithilfe der Formel $\mathrm {Ln} \;z=\ln |z|+i\;\mathrm {Arg} \;z$ angegeben werden, wobei $|z|$ der Betrag, $\mathrm {Arg} \;z$ die Wertemenge des Arguments von $z$ und $\ln |z|$ ein üblicher reeller Logarithmus ist. Der Hauptwert $\ln \;z$ dieser Funktion ergibt sich, wenn man den Hauptwert $\mathrm {arg} \;z$ anstatt $\mathrm {Arg} \;z$ benutzt. Für reelle $z=x>0$ nimmt man üblicherweise an, dass $\mathrm {arg} \;x=0$ ist, und dann stimmt diese Funktion $\ln$ auf der Menge $\mathbb {R} ^{+}$ mit dem üblichen reellen Logarithmus überein.

Für beliebige $a,\;z\in \mathbb {C}$ mit $a\neq 0$ definiert man:

$a^{z}:=e^{z\,\mathrm {Ln} \;a}.$

Das ist auch eine mehrdeutige Funktion, deren Hauptwert sich beim Einsatz von $\ln$ anstatt $\mathrm {Ln}$ ergibt.

Aber für $z=n\in \mathbb {Z}$ verschwindet diese Mehrdeutigkeit und es entstehen übliche Potenzen mit ganzen Exponenten, die im ersten Abschnitt definiert wurden. Seien $a\neq 0$ und $\varphi \in \mathrm {Arg} \;a$, dann zieht die exponentiale Darstellung $a=|a|\,e^{i\varphi }$ nach sich, dass $a^{n}=|a|^{n}\,e^{in\varphi }$ gilt.

Für einen rationalen Exponenten $r$ mit der gekürzten Bruchdarstellung $r=m/n$, wobei $m\in \mathbb {Z} ,\;n\in \mathbb {N}$ gilt, hat die Potenz $a^{r}$ genau $n$ unterschiedliche Werte. Das gilt insbesondere für ${\sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n}$. Ist $n$ ungerade und $a\in \mathbb {R}$, dann gibt es unter ihnen genau eine reelle Zahl, und das ist gerade die Zahl $a^{r}$ aus dem Abschnitt 1.3. Ist $n$ gerade und $a<0$, dann nimmt $a^{r}$ keine reellen Werte an. Wenn aber $n$ gerade und $a>0$ sind, dann nimmt die Potenz $a^{r}$ genau zwei reelle Werte an, die unterschiedliche Vorzeichen haben. Der positive davon ist in diesem Fall gerade gleich der Zahl $a^{r}$ aus dem Abschnitt 1.3.

Als ein Beispiel betrachten wir die Potenz $i$ hoch $i$.

Aus $|i|=1,\;\mathrm {Arg} \;i={\frac {\pi }{2}}+2{\pi }k$ mit $k\in \mathbb {Z}$ folgt man, dass $\mathrm {Ln} \;i=i({\frac {\pi }{2}}+2{\pi }k)$ gilt. Das zieht $i^{i}=e^{i\cdot i({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)}=e^{-{\frac {\pi }{2}}-2\pi k}$ mit $k\in \mathbb {Z}$ nach sich. Der Hauptwert entspricht $k=0$ und ist gleich $e^{-{\frac {\pi }{2}}}.$

Spezielle Potenzen

Im alltäglichen Leben werden die Zehnerpotenzen, also die Potenzen mit der Basis 10 (das sind 1, 10, 100, 1000,. ..) wohl am häufigsten verwendet. Sie bilden die Grundlage unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems.

Für die Mathematik besonders wichtig sind die Potenzen mit der Basis $e\approx 2{,}7182818284590452$, der so genannten Eulerschen Zahl.

Zur digitalen Verarbeitung von Daten am Computer wird das Dualsystem mit der Basis 2 verwendet. Die Größeneinheiten digitaler Speichersysteme sind daher die Zweierpotenzen, also die Potenzen zur Basis 2 (das sind 1, 2, 4, 8, 16,. ..). Ein Kibibyte (abgekürzt KiB) entspricht $2^{10}=1024$ Bytes.

Zweierpotenzen entsprechen dem Prozess der wiederholten Verdoppelung. Das Anwachsen dieser Zahlenfolge überrascht bei Praxisbeispielen oft.

• Ein Blatt Papier lässt sich nur etwa siebenmal auf die halbe Größe falten. Es hat dann 128 Lagen. Wenn man es (theoretisch) 42-mal falten könnte, entspräche seine Dicke der Entfernung von der Erde zum Mond (ca. 384 000 km).
• Jeder Mensch hat zwei biologische Eltern, vier Großeltern, acht Urgroßeltern, usw. Verfolgt man diesen Ahnenbaum 70 Generationen zurück (ins Jahr Christi Geburt), so stammt jeder heutige Mensch von $2^{70}=1.180.591.620.717.411.303.424$ Menschen aus dieser Zeit ab, was nicht der Gesamtzahl der Menschen entspricht, die von damals bis heute gelebt haben (60 bis 100 Milliarden). Siehe hierzu: Ahnenverlust
• Die Legende vom Erfinder des Schachspiels, der auf jedem Feld des Schachbrettes die Anzahl der Weizenkörner verdoppelte: Weizenkornlegende.

Bei Schneeballsystemen, zum Beispiel so genannten Schenkkreisen, werden zum Teil Systeme gestartet, die nicht nur eine Verdoppelung, sondern zum Beispiel eine Verachtfachung der neuen Mitglieder pro Schritt vorsehen. Solche Folgen wachsen derart schnell an, dass die Systeme bereits nach wenigen Schritten zwangsläufig kollabieren.

„Null hoch null“

„Null hoch null“ in der Mathematik

z=x^y für die Umgebung von (0;0). Die Fläche entartet in eine senkrechte Gerade bei (0;0). Die verschiedenfarbigen Kurven veranschaulichen die verschiedenen Grenzwerte für 0⁰, je nach gewählter Funktion.

Es hat sich historisch gebildet, dass man das Symbol $0^{0}$ in der Mathematik in zwei völlig unterschiedlichen Sinnen benutzt: als die Bezeichnung für eine Art der unbestimmten Ausdrücke und als die Aufzeichnung der Potenz, deren Basis und Exponent gleich $0$ sind.

Im ersten Fall ist es unsinnig, diesem Symbol einen Zahlwert zuzuschreiben. Im zweiten Fall ist die Festlegung eines Wertes der Potenzen $0^{0}$ keine Frage von wahr oder falsch, sondern von zweckmäßig oder unzweckmäßig. Als a priori geeignete Werte kann man zum Beispiel entweder $0$ (weil $0^{q}=0$ für beliebige $q\in \mathbb {R} ^{+}$ gilt) oder $1$ (weil $a^{0}=1$ für beliebige $a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ gilt) betrachten. In heutigen Analysislehrbüchern ist auch die Konvention verbreitet, die Potenz $0^{0}$ undefiniert zu lassen.

Kann ein Grenzwert nicht unmittelbar auf Grund von Grenzwertsätzen und Eigenschaften von stetigen Funktionen berechnet werden, dann heißt der Ausdruck, der unter dem Zeichen des Grenzwertes steht, unbestimmter Ausdruck. Das sind zum Beispiel ${\frac {0}{0}},\;{\frac {\infty }{\infty }}$ usw. Der unbestimmte Ausdruck $0^{0}$ entsteht bei Berechnungen der Grenzwerte der Potenzen, deren Basen und Exponenten gleichzeitig gegen $0$ gehen. Die Ursache liegt darin, dass für eine beliebige Zahl $A\geq 0$ (und auch bei $A=+{\infty }$) solche Folgen $(u_{n}),\;(v_{n})$ existieren, dass $u_{n}\to 0+$, $v_{n}\to 0$ und ${u_{n}}^{v_{n}}\to A$ gelten. Also sind die Grenzwertargumente zur Festlegung des Wertes der Potenz $0^{0}$ ungeeignet.

(Bis Anfang des 19. Jahrhunderts haben Mathematiker anscheinend $0^{0}=1$ gesetzt, ohne diese Festlegung genauer zu hinterfragen. Augustin Louis Cauchy listete allerdings $0^{0}$ gemeinsam mit anderen Ausdrücken wie $0/0$ in einer Tabelle von unbestimmten Ausdrücken. 1833 veröffentlichte Guillaume Libri eine Arbeit, in der er wenig überzeugende Argumente für $0^{0}=1$ präsentierte, die in der Folge kontrovers diskutiert wurden. Zur Verteidigung von Libri veröffentlichte August Ferdinand Möbius einen Beweis seines Lehrers Johann Friedrich Pfaff, der im Wesentlichen zeigte, dass $\lim _{x\to 0+}x^{x}=1$ gilt, und einen angeblichen Beweis für $\lim _{x\to 0+}f(x)^{g(x)}=1$, falls $\lim _{x\to 0+}f(x)=\lim _{x\to 0+}g(x)=0$ gelten, lieferte. Dieser Beweis wurde durch das Gegenbeispiel $f(x)=e^{-1/x}$ und $g(x)=x$ rasch widerlegt.)

Donald Ervin Knuth erwähnte 1992 im American Mathematical Monthly die Geschichte der Kontroverse und lehnte die Schlussfolgerung entschieden ab, dass $0^{0}$ undefiniert gelassen wird. Wenn man den Wert 1 für die Potenz $0^{0}$ nicht voraussetzt, verlangen viele mathematische Theoreme wie zum Beispiel der binomische Satz

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}$

eine Sonderbehandlung für die Fälle $x=0$ oder $y=0$ oder gleichzeitig $n=0$ und $x+y=0$.

Ebenso taucht die Potenz $0^{0}$ in Potenzreihen wie beispielsweise für die Exponentialfunktion

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$ an der Stelle $x=0$

oder in der Summenformel für die geometrische Reihe

$\sum _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$ für $q=0$

auf. Auch hier ist die Konvention $0^{0}=1$ sinnvoll.

„Null hoch null“ in der Informatik

Die Frage nach dem Wert von „null hoch null“ spielt in der Informatik insbesondere bei der Standardisierung von Programmiersprachen eine Rolle. Lange Zeit wurde das allerdings nicht beachtet, ältere Sprachnormen legen anscheinend kein bestimmtes Verhalten fest; Taschenrechner verhalten sich ebenfalls unterschiedlich und liefern üblicherweise 1, Error oder unbestimmt als Ergebnis.

William Kahan, der Hauptarchitekt des Standards IEEE 754 für binäre Gleitkommazahlen, empfahl für Zwecke der numerischen Mathematik $0^{0}=1$ zu wählen. Diese Konvention setzt sich anscheinend in der Informatik durch, so definieren der C99-Standard im Anhang F.9.4.4 sowie die Programmiersprache Java, dass pow(0.0,0.0)=1.0 ist.

Umkehrfunktionen

Da das Kommutativgesetz beim Potenzieren nicht gilt, gibt es zwei Umkehrrechenarten:

• das Wurzelziehen, um Gleichungen der Bauart $x^{a}=b$ zu lösen, also um die Basis zu ermitteln, wenn der Exponent bekannt ist,
• das Logarithmieren für Gleichungen des Typs $a^{x}=b$, also die Bestimmung des Exponenten, wenn die Basis vorgegeben ist.

Verallgemeinerungen

Allgemeinere Basen

Allgemein gibt es Potenzen mit positiven, ganzzahligen Exponenten in jeder Halbgruppe. Hat diese ein neutrales Element und wird dadurch zum Monoid $M$, so ist auch Exponent 0 sinnvoll, $a^{0}$ ist dann immer das neutrale Element. Es gelten die Potenzgesetze

• $a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}$
• $(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$
• $(a\cdot b)^{m}=a^{m}\cdot b^{m}$, falls $a$ und $b$ vertauschen, d. h. wenn $ab=ba$ gilt.

(Überall $a,b\in M;m,n\in \mathbb {N} _{0}$.)

Ist $a$ ein invertierbares Element, so kann man mittels

$\!\ a^{-n}=(a^{-1})^{n}$ für $n\in \mathbb {N}$

Potenzen mit beliebigen ganzzahligen Exponenten definieren. Die Rechenregeln gelten analog. Im Fall abelscher Gruppen besagen sie, dass durch die Potenzierung die Struktur eines $\mathbb {Z}$-Moduls induziert wird.

Allgemeinere Exponenten

Allgemeinere Exponenten wie Matrizen werden meist nur im Zusammenhang mit der Basis $e$, also als Werte der verallgemeinerten Exponentialfunktion betrachtet.

Darüber hinaus wird die Potenzschreibweise gelegentlich auch für andere natürliche Fortsetzungen verwendet. So werden beispielsweise in der algebraischen Zahlentheorie gelegentlich Potenzen von Elementen von (topologischen) Galoisgruppen mit Exponenten in Vervollständigungen von $\mathbb {Z}$ betrachtet; es handelt sich dann um die jeweils eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung der Abbildung

$\mathbb {Z} \to G,\quad n\mapsto g^{n}.$

Mehrdeutigkeit der Exponentenschreibweise bei Funktionen

Eine an Potenzen erinnernde Schreibweise existiert auch für Funktionen. Diese Schreibweise kann allerdings verschiedene Bedeutungen haben. In der Regel geht aus dem Kontext hervor, welche von beiden Bedeutungen gerade gemeint ist.

Multiplikation

Als abkürzende Schreibweise für die Multiplikation mehrerer Funktionswerte trigonometrischer Funktionen mit gleichen Argumenten, wie sie beispielsweise bei den Additionstheoremen für Winkelfunktionen häufig auftreten, hat sich folgende Schreibweise eingebürgert:

$\sin ^{2}\ x:=(\sin \ x)^{2}=\sin(x)\cdot \sin(x)$.

Allgemein gilt aber nicht:

$\!\ f^{n}(x)=(f(x))^{n}$ (siehe unten unter Verkettung).

Verkettung

Andererseits wird die Potenzschreibweise oft als abkürzende Schreibweise für die Verkettung von Funktionen, deren Werte wieder im Definitionsbereich liegen, verwendet.

Definition (id bezeichnet die Identität auf dem Definitionsbereich):

$f^{0}:=\mathrm {id} ;f^{1}:=f;f^{2}:=(f\circ f)$

$f^{n}:=f\circ f^{n-1}.$

Für die Funktionswerte bedeutet dies:

$f^{0}(x)=\mathrm {id} (x)=x;f^{1}(x)=f(x);f^{2}(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x))$

$f^{n}(x)=(f\circ f^{n-1})(x)=f\left(f^{n-1}(x)\right).$

Als Erweiterung dieser Definition definiert man üblicherweise noch $f^{-1}$ als die Umkehrfunktion von $f$. Insbesondere findet sich diese Schreibweise auch auf vielen Taschenrechnern, beispielsweise wird dort und auch sonst die Arkusfunktion $\arcsin$ mit $\sin ^{-1}$ bezeichnet.

Ableitung

Wird der Exponent in Klammern geschrieben, so ist meist die entsprechende Ableitung gemeint, $f^{(n)}$ bezeichnet dann die $n$-te Ableitung von f.

Siehe auch

• Größenordnung, Wissenschaftliche Notation – zur Darstellung von Zahlen mittels Potenzen
• Potenzfolge – die Reihen und Folgen der Potenzen

Siehe auch

• Exponentialfunktion
• Binomische Formel
• Geometrische Reihe
• Potenzfunktion
• Binäre Exponentiation
• Potenzturm
• Wurzel