Satz des Heron

Mit dem Satz des Heron kann man die Fläche eines Dreiecks aus den drei Seitenlängen a, b und c berechnen. Der Satz ist nach dem Mathematiker Heron von Alexandria benannt.

Der Satz lautet wie folgt:

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

Wobei A die Fläche und s der halbe Umfang ist, also

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

Die Formel von Heron lautet auch so:

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}$

Diese ebenso erstaunliche wie schöne Formel kann ebenfalls als Spezialfall der Formel für den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks angesehen werden, wenn eine Seitenlänge des Sehnenvierecks die Länge Null hat. Für den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks gilt nämlich:

$A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

Weblinks

• Herleitung und Beweis der Formel von Heron (Englisch)
• Beweis mit Hilfe des Kosinussatzes (Deutsch) (PDF-Datei; 88 kB)
• Beweis für den Satz des Heron und seine Folgerungen (PDF-Datei; 82 kB)
• Eric W. Weisstein: Satz des Heron. In: MathWorld (englisch).

Literatur

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie, 3. Aufl., Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3