Dyadisches Produkt

Das dyadische Produkt (kurz auch: eine Dyade) ist in der Mathematik ein Tensor zweiter Stufe, der durch das komponentenweise Multiplizieren von zwei Vektoren entsteht.

Am einfachsten lässt sich das dyadische Produkt erklären, wenn konsequent zwischen Spalten- und Zeilenvektoren unterschieden wird. Seien a=(a₁,a₂)^T und b=(b₁,b₂)^T zwei Spaltenvektoren (zwecks besserer Lesbarkeit des Fließtextes als transponierte Zeilenvektoren geschrieben) aus dem R². Diese Vektoren kann man in zwei verschiedenen Weisen miteinander multiplizieren: als Skalarprodukt

a^Tb = a₁b₁ + a₂b₂

oder eben als dyadisches Produkt

$\mathbf {a} \mathbf {b} ^{T}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}\end{bmatrix}}$.

Wenn in der Notation nicht zwischen Spalten- und Zeilenvektoren unterschieden wird, wird das dyadische Produkt durch ein eigenes Zeichen kenntlich gemacht, ein Kreuz in einem Kreis, das allgemein ein Tensorprodukt kennzeichnet:

$\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}$.

In vielen Anwendungen wird ein dyadisches Produkt nicht komponentenweise ausgerechnet, sondern zunächst stehen gelassen und erst ausgewertet, wenn es mit weiteren Termen multipliziert wird. Im folgenden Beispiel wird eine Dyade $\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}$ mit einem Vektor c multipliziert und ergibt einen Vektor, der parallel zu a ist:

$(\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} )\mathbf {\cdot c} =\mathbf {a} (\mathbf {b\cdot c} )$.

(Um einzusehen, dass die Gleichung gilt, schreibe man den Ausdruck wie oben als Produkt von Zeilen- und Spaltenvektoren und nutze die Assoziativität.)

Das dyadische Produkt eines Einheitsvektors n mit sich selbst ist ein Projektionsoperator:

$(\mathbf {n} \otimes \mathbf {n} )\mathbf {\cdot x} =\mathbf {n} (\mathbf {n\cdot x} )$

projiziert einen gegebenen Vektor x auf einen durch n bezeichneten Strahl.

Das dyadische Produkt ist ein Spezialfall des Kronecker-Produktes.