Lie-Ableitung

In der Analysis bezeichnet die Lie-Ableitung (nach Sophus Lie) die Ableitung eines Tensorfeldes entlang eines Vektorfeldes.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie oder zur geometrischen Formulierung der Hamiltonschen Mechanik wird sie verwendet, um Symmetrien aufzudecken, diese zur Lösung von Problemen auszunutzen und beispielsweise Konstanten der Bewegung zu finden.

Lie-Ableitung für Funktionen und Vektorfelder

Ist $X$ ein Vektorfeld, so ist die Lie-Ableitung einer differenzierbaren Funktion $f$ die Anwendung von $X$ auf $f$:

${\mathcal {L}}_{X}f=Xf.$

Ist $Y$ ein weiteres Vektorfeld, so ist die Lie-Ableitung von $Y$ bezüglich $X$ die Lie-Klammer der beiden Vektorfelder:

${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y].$

Allgemeine Definition

Für ein Tensorfeld $T$ und ein Vektorfeld $X$ mit lokalem Fluss $\Phi _{t}$ ist die Lie-Ableitung von $T$ bezüglich $X$ definiert als

${\mathcal {L}}_{X}T={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\phi _{t*}T|_{t=0}.$

${\mathcal {L}}_{X}$ ist $\mathbb {R}$-linear in $X$ und für festes $X$ eine Derivation der Tensoralgebra, die mit der Kontraktion verträglich ist. Die Lie-Ableitung ist dadurch und durch ihre Werte auf Funktionen und Vektorfeldern bereits eindeutig charakterisiert.

Im Unterschied zu einem Zusammenhang ist ${\mathcal {L}}_{X}$ nicht ${\mathcal {C}}^{\infty }$-linear in $X$.

Definition der Lie-Ableitung auf Differentialformen

Sei $M$ eine ${\mathcal {C}}^{\infty }$-Mannigfaltigkeit, $X$ ein Vektorfeld auf $M$ und $\alpha \in \Lambda ^{k+1}(M)$ eine $(k+1)$-Differentialform auf $M$. Durch Evaluation kann man eine Art inneres Produkt zwischen X und $\alpha$ definieren:

$(i_{X}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=(k+1)\alpha (X,X_{1},\ldots ,X_{k})\,$

und erhält die Abbildung:

$i_{X}:\Lambda ^{k+1}(M)\to \Lambda ^{k}(M),\;\alpha \mapsto i_{X}\alpha$

Diese Abbildung hat die folgenden Eigenschaften:

• $i_{X}$ ist R-linear
• für beliebiges $f\in \Lambda ^{0}(M)$ gilt $i_{fX}\alpha =fi_{X}\alpha$
• Sei $\beta$ eine beliebige Differentialform über M und $\alpha \in \Lambda ^{k}(M)$

$i_{X}(\alpha \wedge \beta )=(i_{X}\alpha )\wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge (i_{X}\beta )$

Weiter oben wurde die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes $X$ für Funktionen über $M$ definiert:

${\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}df$

Für echte Differentialformen ist die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes $X$ wie folgt definiert:

${\mathcal {L}}_{X}\alpha =\left(i_{X}\circ d\ +d\circ i_{X}\right)\alpha$.

Sie hat die folgenden Eigenschaften:

• ${\mathcal {L}}_{fX}\alpha =f{\mathcal {L}}_{X}\alpha +df\wedge i_{X}\alpha$
• ${\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )$
• $[{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha$
• $[{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha$

Literatur

• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik Bd 4. Analysis auf Mannigfaltigkeiten – Funktionentheorie – Funktionalanalysis. Spektrum, Heidelberg 2001, ISBN 3-8274-0137-2