Satzgruppe des Pythagoras

Die Satzgruppe des Pythagoras umfaßt drei Sätze der Mathematik, die sich mit der Berechnung von rechtwinkligen Dreiecken befassen:

1. Satz des Pythagoras
2. Kathetensatz des Euklid
3. Höhensatz des Euklid

Die einzelnen Sätze

Satz des Pythagoras

a²+b²=c²

• Siehe auch: Eigener Artikel zum Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Fläche des großen Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der beiden anderen Seiten ist.

Oder:

Seien a,b,c die Seiten eines Dreiecks mit der größten Seite c. Das Quadrat über c ist flächengleich zu der Summe der Quadrate über a und b genau dann, wenn das Dreieck rechtwinklig ist und dieser rechte Winkel bei C ist.

Als Formel:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Kathetensatz des Euklid

Der Kathetensatz besagt, dass in rechtwinkligen Dreiecken die Rechtecke im Quadrat über der Hypotenuse unter den Kathetenquadraten diesen jeweils flächengleich sind.

a²=pc und b²=qc

Oder:

Seien a,b,c die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse c. Teilt man dieses Dreieck an der Höhe h und ist p der Hypotenusenabschnitt über a, q der entsprechende Abschnitt über b, so gilt:

Das Quadrat über a ist flächengleich zum Rechteck mit den Seiten p und c, und das Quadrat über b ist flächengleich zum Rechteck mit den Seiten q und c. i

Als Formeln:

$a^{2}=p\cdot c$

$b^{2}=q\cdot c$

Höhensatz des Euklid

Rechtwinkliges Dreieck mit pq und h²

Rechtwinkliges Dreieck mit pq und h²

h²=pq

Der Höhensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten ist.

Oder:

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe h, die die Hypotenuse in die Abschnitte p und q teilt. Dann ist

$h^{2}=p\cdot q$

Die Umkehrung gilt ebenso:

Gilt der Höhensatz in einem Dreieck, so ist dieses Dreieck rechtwinklig.

TEST

Beweise

Für den Satz des Pythagoras existieren sehr viele verschiedene Beweise, siehe Artikel Satz des Pythagoras. Aus diesem kann man den Höhensatz und den Kathetensatz durch algebraische Berechnung beweisen. Der folgende Abschnitt zeigt dies für den Höhensatz.

Algebraische Beweise

Beweis des Höhensatzes

Der Beweis des Höhensatzes kann mit dem Satz des Pythagoras $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ und der Binomischen Formel $(p+q)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}$geführt werden.

Im Diagramm erkennt man drei rechtwinklige Dreiecke, eines mit den Seiten a,b,c, dann noch jeweils eines mit h,p,a und h,q,b. Für jedes dieser Dreiecke gilt der Satz des Pythagoras:

Diagramm zum Beweis (siehe Text)

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$h^{2}+p^{2}=a^{2}$

$h^{2}+q^{2}=b^{2}$

Außerdem gilt:

$p+q=c$

Das Quadrat ist also:

$(p+q)^{2}=c^{2}$

Nach der binomischen Formel ist dies

$p^{2}+2pq+q^{2}=c^{2}$

Setzt man dies für c² in die erste Formel ein und ergänzt mit der zweiten und dritten Formel a² und b², so erhält man:

$h^{2}+p^{2}+h^{2}+q^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}$

und damit

$2h^{2}=2pq$

nach Division von 2 folgt der zu beweisende Höhensatz:

$h^{2}=pq$

Beweis des Kathetensatzes

Für den Kathetensatz existiert ein Beweis nach dem gleichen Prinzip. Da der Satz des Pythagoras und der Höhensatz bewiesen sind, können diese nun in den Beweis einfließen:

$a^{2}=h^{2}+p^{2}=p\cdot q+p^{2}=(p+q)\cdot p=c\cdot p$

$b^{2}=h^{2}+q^{2}=p\cdot q+q^{2}=(p+q)\cdot q=c\cdot q$

Einfachere Beweise für Höhen- und Kathetensatz

Wir benutzen die Ähnlichkeit der 2 rechtwinkligen Teildreiecke. Alle haben einen rechten Winkel und die Winkel α , β gemeinsam. Deshalb gilt:

$h:p=q:h,\$ daraus folgt der Höhensatz direkt:

$h^{2}=p\cdot q$

Analog folgt der Kathetensatz:

$a:p=c:a\ \ \Rightarrow \ \ a^{2}=p\cdot c$

Geometrische Beweise

Für den Höhensatz und den Kathetensatz existieren auch geometrische Beweise:

Ergänzungsbeweis des Höhensatzes

Dreiecke mit h,p und h,q sowie h² und pq

Ergänzungsbeweis zum Höhensatz

Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, falls die Katheten gleich sind (der eingeschlossene Winkel ist ja auch gleich).

Teilt man ein rechtwinkliges Dreieck an der Höhe h in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten p und h bzw. q und h (gelbes und rotes Dreieck im Diagramm), so kann man diese an ein Quadrat mit der Seitenlänge h (im Diagramm unten links) und an ein Rechteck mit den Seiten p und q anlegen (im Diagramm unten rechts).

In beiden Fällen entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten p+h und q+h. Das rechte und linke Dreieck sind also kongruent. Das erste besteht aber aus dem gelben und roten Dreieck und dem Quadrat h², das zweite aus den beiden Dreiecken und dem Rechteck pq. Die Fläche des Quadrats muss daher gleich der Fläche des Rechtecks sein, also h²=pq.

Scherungsbeweis des Höhensatzes

Schert man ein Rechteck zu einem Parallelogramm, so bleibt die Fläche erhalten. Damit lässt sich der Höhensatz auch beweisen. Die Animation veranschaulicht den Beweis:

Veranschaulichung des Beweisgangs zum Höhensatz mittels Scherung

Mit Hilfe der Kongruenzsätze für Dreiecke muss man noch beweisen, dass die neue Höhe q tatsächlich dem Hypotenusenabschnitt entspricht. Darauf wird hier verzichtet.

Scherungsbeweis des Kathetensatzes

Der Scherungsbeweis des Satzes des Pythagoras beweist gleichzeitig auch den Kathetensatz.

Veranschaulichung des Beweisgangs zum Kathetensatz mittels Scherung

Weblink

• Java-Applet zum Höhen- und Kathetensatz