Effektivwert

Definition

Der Begriff des Effektivwertes bezieht sich auf periodische Signale. Ist s ein reellwertiges Signal, das von t abhängt, und T die Periodendauer des Signals, so heißt

$s_{eff}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{s^{2}(t)dt}}}$

der Effektivwert von s.

Für komplexwertige Signale s berechnet sich der Effektivwert zu

$s_{eff}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{s(t)\cdot s^{*}(t)dt}}},$

wobei $s^{*}$ das zu $s$ konjugiert komplexe Signal ist.

Spezielle Signalformen

Das Gleichsignal $s(t)=A$ hat den Effektivwert $A$.

Das Sinussignal $s(t)=A\sin(\omega t)$ hat den Effektivwert $A/{\sqrt {2}}$.

Vgl. hierzu Spannungsform.

Beispiele für Effektivwertberechnung

Energetische Betrachtung bei Strom- und Spannung

Als Effektivwert eines elektrischen Stromes von wechselnder Größe wird derjenige Wert angegeben, der in einem (rein ohmschen) Wirkwiderstand R die gleiche Wärmemenge erzeugt, wie ein gleich großer Gleichstrom I in gleicher Zeit t.

Batterie

Eine Batterie als elektrische Spannungsquelle liefert einen Strom, der ständig gleich bleibt, solange der angeschlossene Stromkreis nicht verändert wird und solange die Batterie nicht erschöpft ist. Ebenso verhält sich der Spannungswert der Batterie.

Neben diesem Gleichstrom, dessen Werte leicht zu bestimmen sind, gibt es zahlreiche andere Formen des elektrischen Stromes vor allem den Wechselstrom und Ströme, die aus aufeinanderfolgenden Impulsen bestehen. Der Wechselstrom der Versorgungsnetze besteht aus Impulsen mit wechselnder Polarität, deren Größe während ihres Ablaufs von Null bis zu einem Maximalwert steigt und dann wieder auf Null zurückgeht. Der Ablauf folgt periodisch den Sinuswerten der Winkel von Null bis 360 Grad und hat daher die Bezeichnung "Sinusform".

Um die Größenordung dieser Ströme unabhängig von Momentwerten, Spitzen- und Minimalwerten zu kennzeichnen, wird der Effektivwert angegeben. Beim sinusförmigen Industrie- und Haushalts-Wechselstrom ist der Effektivwert um den Wert

${\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}7071$

kleiner als der Spitzenwert der Spannung oder des Stromes. (Mathematische Ableitung siehe unten)

Der Scheitelfaktor (Crestfaktor) bezeichnet das Verhältnis von Scheitelwert (Spitzenwert) und Effektivwert. Er ist abhängig von der Wellenform des Signales. Für harmonische (sinusförmige) Signale beträgt er 1,414.

Wird bei der Angabe von Wechselspannung keine zusätzliche Angabe gemacht, so ist immer der Effektivwert gemeint. Im technischen Bereich wird für den Effektivwert häufig der englische Begriff RMS (root mean square) verwendet.

Herleitung: Effektivwert eines Sinussignals

Für den Fall des gleichbleibenden Stromes bei gleichbleibender Spannung gilt:

$U(t)=const:=U_{0},\ I(t)=const:=I_{0}\$ und $\ U_{0}=I_{0}\cdot R$

Damit ergibt sich die Leistung an einem von Gleichstrom durchflossenen ohmschen Widerstand zu:

$P_{0}=U_{0}\cdot I_{0}=I_{0}^{2}\cdot R=U_{0}^{2}/R$

Die während der Zeit t an diesem Widerstand umgesetzte Energie ergibt sich damit zu:

$E=P_{0}\cdot t=I_{0}^{2}\cdot R\cdot t=U_{0}^{2}/R\cdot t$

Es sollen sich jetzt Strom $I(t)$ und Spannung $U(t)$ zeitabhängig ändern. Damit gelten:

$U(t)=I(t)\cdot R$

Die umgesetzte augenblickliche Leistung berechnet sich analog zu oben zu:

$P(t)=U(t)\cdot I(t)=I(t)^{2}\cdot R=U(t)^{2}/R$

Die augenblickliche Leistung ist immer positiv.

Die während eines Zeitraums t an dem Widerstand umgesetzter Energie ist das Integral über die gesamte zeitabhängige Leistung. Wir wählen den Beginn der Integration willkürlich zu Null:

$E_{t}=\int _{0}^{t}P(\tau )d\tau =R\int _{0}^{t}I^{2}(\tau )d\tau =1/R\int _{0}^{t}U^{2}(\tau )d\tau$

Jetzt setzen wir die während des Zeitraums t von Gleichstrom und vom zeitabhängigen Strom umgesetzte Energiemenge in das Verhältnis so folgt:

$E_{t}/E={\frac {\int _{0}^{t}I^{2}(\tau )d\tau }{I_{0}^{2}\cdot t}}={\frac {\int _{0}^{t}U^{2}(\tau )d\tau }{U_{0}^{2}\cdot t}}$

Für die Effektivwerte von Strom und Spannung gilt nach Definition des Effektivwertes:

${\frac {\int _{0}^{t}I^{2}(\tau )d\tau }{I_{\mathrm {eff} }^{2}\cdot t}}={\frac {\int _{0}^{t}U^{2}(\tau )d\tau }{U_{\mathrm {eff} }^{2}\cdot t}}:=1(!)$

Damit folgen die bekannten Formeln:

$I_{\mathrm {eff} }={\sqrt {\frac {\int _{0}^{t}I^{2}(\tau )d\tau }{t}}}\$ und $\ U_{\mathrm {eff} }={\sqrt {\frac {\int _{0}^{t}U^{2}(\tau )d\tau }{t}}}$

und es erklärt sich RMS (root mean square) als Wurzel des Mittelwerts der Quadrate...

Im Stromversorgungsnetz

In der Leistungsübertragung, und damit in den öffentlichen Versorgungsnetzen, wichtigster Wechselstrom bzw. -spannung ist sinusförmig, mit einer Frequenz von 60 Hertz (USA), 50 Hertz (Europa) und 16,666 (Bahn).

Es sollen sich jetzt Strom I(t) und Spannung U(t) sinusförmig ändern. Damit gelten:

$U(t)=U_{0}\sin(\omega t),\ I(t)=I_{0}\sin(\omega t)\$ mit $\ U(t)=I(t)\cdot R$ und $\omega =2\pi \cdot f$

Strom und Spannung nehmen innerhalb einer Periode einen Minimal- und einen Maximalwert an, und gehen zweimal durch Null.

Die umgesetzte augenblickliche Leistung berechnet sich analog zu oben zu:

$P(t)=U(t)\cdot I(t)=I(t)^{2}\cdot R=I_{0}^{2}\sin ^{2}(\omega t)\cdot R={\frac {U(t)^{2}}{R}}={\frac {U_{0}^{2}\sin ^{2}(\omega t)}{R}}$

Die augenblickliche Leistung ist bei Verbrauchern immer positiv, sie nimmt während einer Periode von Strom oder Spannung zweimal Minimal- und Maximalwert an.

Die während eines Zeitraums t an dem Widerstand umgesetzter Energie ist das Integral über die gesamte zeitabhängige Leistung. Wir wählen den Beginn der Integration willkürlich zu Null

$E_{t}=\int _{0}^{t}P(\tau )d\tau =I_{0}^{2}\cdot R\int _{0}^{t}\sin ^{2}(\omega \tau )d\tau ={\frac {U_{0}^{2}}{R}}\int _{0}^{t}\sin ^{2}(\omega \tau )d\tau$

Jetzt setzen wir die während des Zeitraums t von Gleich- und Wechselstrom umgesetzte Energiemenge in das Verhältnis

${\frac {E_{t}}{E}}={\frac {I_{0}^{2}\cdot R\int _{0}^{t}\sin ^{2}(\omega \tau )d\tau }{I_{0}^{2}\cdot R\cdot t}}={\frac {{\frac {U_{0}^{2}}{R}}\int _{0}^{t}\sin ^{2}(\omega \tau )d\tau }{{\frac {U_{0}^{2}}{R}}\cdot t}}={\frac {\int _{0}^{t}\sin ^{2}(\omega \tau )d\tau }{t}}$

Mit ${\int \sin ^{2}(\omega \tau )d\tau ={\frac {\tau }{2}}-{\frac {1}{4\omega }}\sin(2\omega \tau )}$ folgt:

${\frac {E_{t}}{E}}={\frac {[{\frac {\tau }{2}}-{\frac {1}{4\omega }}\sin(2\omega \tau )]_{0}^{t}}{t}}$

Berücksichtigen wir nur volle Perioden, dass also gilt $t=nT$, so folgt:

${\frac {E_{t}}{E}}={\frac {1}{2}}$

Ein(e) sinusförmiger Wechselstrom (Wechselspannung) gleicher Amplitude setzt an einem ohmschen Widerstand pro Periode die Hälfte der Energie um wie ein(e) Gleichstrom (Gleichspannung) gleicher Amplitude in der gleichen Zeit. Daraus können wir jetzt den Effektivwert bestimmen.

$I_{\mathrm {eff} }^{2}\cdot R={\frac {P_{0}}{2}}={\frac {I_{0}^{2}\cdot R}{2}}$ und ${\frac {U_{\mathrm {eff} }^{2}}{R}}={\frac {P_{0}}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {U_{0}^{2}}{R}}$

Damit folgt:

$I_{\mathrm {eff} }={\frac {I_{0}}{\sqrt {2}}}$ und $U_{\mathrm {eff} }{\frac {U_{0}}{\sqrt {2}}}$

Meßtechnische Erfassung

Falscher und echter Effektivwert

Meßgeräte wurden ursprünglich für die Anzeige des Effektivwertes sinusförmiger Spannungen ausgelegt, indem sie die Scheitelspannung messen und mit dem Scheitelfaktor für Sinus-Spannungen verrechen. D.h. die Angabe des Effektivwertes durch solche Messgeräte gilt nur für harmonische Spannungen.

Als in der modernen Elektrotechnik bzw. Elektronik die Spannungsformen stark von der Sinusform abwichen, zeigten sich hierfür jedoch falsche Meßwertangaben. Messgeräte, welche den Effektivwert tatsächlich nach den mathematischen Grundlagen bestimmen, werden zur Verdeutlichung Echteffektivwert-Messgeräte true RMS genannt und mit der Bezeichnung True RMS bzw. TRMS ausgewiesen (RMS = root mean square).

Hitzdrahtmesswerk

Zur Bestimmung des Effektivwertes einer nichtsinusförmigen Spannung oder eines Stromes wurde in Zeiten der mechanischen Messgeräte ein Messstrom durch einen sehr feinen Draht geleitet. Dieser erwärmte sich, dehnte sich aus und verstellte damit den Zeiger. Die thermische Trägheit bildete den Mittelwert und die Dehnung = Temperatur die "Leistungsfähigkeit" der Signalspannung.

Ähnlich war die Messmethode, mit dem Messstrom ein Heizelement zu erwärmen und den Effektivwert aus der Temperaturdifferenz zu ermitteln.

Prinzip der Effektivwertberechnung in modernen Geräten

Ein Absolutspannungs-Stromwandler erzeugt aus der Messspannung einen Strom I1. Dieser wird einem Quadrierer / Dividierer zugeführt. Der Divisor entsteht durch einen Spiegelstrom nach Integration mit einem Kondensator. Er ist der Mittelwert des Stromes I1. Dadurch wird ein Ausgangsstrom gebildet, welcher dem Echteffektivwert entspricht.

Siehe dazu weiter Spannungsform</math>