Die Schaltalgebra ist eine abstrakte mathematische Beschreibung zum Aufbau elektrischer bzw. elektronischer logischer Verknüpfungen. Sie ist ein Hilfsmittel zur Berechnung binärer Schaltnetze und Schaltwerke. Der Begriff "binär" lässt sich mit zweiwertig übersetzen: es gibt bei der Schaltalgebra nur zwei Zustände: Null-Aus und Eins-Ein.
Die Schaltalgebra wurde aus der theoretischen Logik entwickelt. Der englische Mathematiker George Boole (1815-1864) entwickelte eine Theorie zur Behandlung zweiwertiger Aussagen. Man spricht daher von der Booleschen Algebra.
Es gibt vier Grundformen logischer Verknüpfungen, mit denen alle anderen logischen Verknüpfungen aufgebaut werden können. Der Einfachheit halber werden die Verknüpfungen hier nur mit zwei Eingängen beschrieben. Es sind natürlich beliebig viele möglich.
Eingänge werden mit "E", Ausgänge mit "A" bezeichnet und durchnummeriert.
Ja-Verknüpfung: Verstärker
Symbol: 1
E=1 -> A=1 E=0 -> A=0
Tabelle:
E A 0 0 1 1
in Algebra:
E 1 = A
Nein-Verknüpfung: Negierer
_ Symbol: 1
E=1 -> A=0 E=0 -> A=1
Tabelle:
E A 0 1 1 0
in Algebra:
_ _ E 1 = A
Oder-Verknüpfung (OR)
Symbol >=
E1=1 >= E2=1 -> A=1 E1=1 >= E2=0 -> A=1 E1=0 >= E2=1 -> A=1 E1=0 >= E2=0 -> A=0
Tabelle:
E1 E2 A 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1
in Algebra:
E1 + E2 = A
Und-Verknüpfung (AND)
Symbol: &
E1=1 & E2=1 -> A=1 E1=1 & E2=0 -> A=0 E1=0 & E2=1 -> A=0 E1=0 & E2=0 -> A=0
Tabelle:
E1 E2 A 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1
in Algebra:
E1 * E2 = A
Alle höheren Verknüpfungen lassen sich durch Verschachteln mehrerer der Grundverknüpfungen erzeugen.
"und-nicht"-Verknüpfung (NAND)
_
Symbol: &
_
E1=1 & E1=1 -> A=0
_
E1=1 & E1=0 -> A=1
_
E1=0 & E1=1 -> A=1
_
E1=0 & E1=0 -> A=1
Tabelle:
E1 E2 A 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0
in Algebra:
_______ E1 * E2 = A
oder:
_ E1 * E2 = A
oder:
_ E1 * E2 = A
oder:
__ __ E1 + E2 = A (siehe auch De Morgansche Regel)
Wie man sieht führen alle Varianten zum selben Ergebnis.
"Exklusiv-oder" -Verknüpfung (EXOR, XOR)
Symbol: >
E1=1 > E2=1 -> A=0 E1=1 > E2=0 -> A=1 E1=0 > E2=1 -> A=1 E1=0 > E2=0 -> A=0
Tabelle:
E1 E2 A 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0
In Algebra:
__ __ E1 * E2 + E1 * E2 = A
Eigenschaften
Die "und-nicht"-Verknüpfung alleine würde außerdem genügen, um alle anderen Verknüpfungen einschließlich der Grundverknüpfungen zu erzeugen. Dasselbe gilt für die "oder-nicht"-Verknüpfung.
Durch die Schaltalgebra lassen sich die Aufbauten von elektronischen Verknüpfungen hervorragend darstellen und mit Hilfe der Mathematik vereinfachen oder an die Gegebenheiten bereits vorhandener Schaltungen anpassen. Prinzipiell liesse sich ein gesamter Computer mit Hilfe dieser Symbolik und dieser wenigen Grundfunktionen zusammen mit Funktionen zur zeitlichen Verzögerung darstellen.
Siehe auch: Boolesche Algebra