Charakteristische Funktion (Stochastik)

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die charakteristische Funktion $\varphi _{X}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ einer Zufallsvariablen X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\Sigma ,P)$ für $t\in \mathbb {R}$ folgendermaßen definiert:

$\varphi _{X}(t):=\operatorname {E} \left(e^{\mathrm {i} tX}\right)=\int _{\Omega }e^{\mathrm {i} tX}\,\mathrm {d} P\,.$

Dabei bezeichnet $\operatorname {E}$ den Erwartungswert. Man beachte, dass das Integral wegen $\left|e^{\mathrm {i} tx}\right|=1$ immer existiert.

Besitzt $X$ endliche Momente beliebiger Ordnung, so kann man die Exponentialfunktion als Potenzreihe darstellen und erhält die Reihendarstellung der charakteristischen Funktion mit den Momenten $\operatorname {E} \left(X^{n}\right)$:

$\varphi _{X}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} t)^{n}}{n!}}\operatorname {E} \left(X^{n}\right)=1+\mathrm {i} t\operatorname {E} \left(X\right)-{\frac {t^{2}}{2}}\operatorname {E} \left(X^{2}\right)-{\frac {\mathrm {i} t^{3}}{6}}\operatorname {E} \left(X^{3}\right)+\ldots \,.$

Beschreibung

Die charakteristische Funktion ist im Wesentlichen die inverse Fourier-Transformierte der Verteilung von $X$. Weiterhin ist $\varphi _{X}\left(-\mathrm {i} t\right)$ die momenterzeugende Funktion von $X$.

Ist $X$ eine reelle Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion $F$, dann gilt

$\varphi _{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{\mathrm {i} tx}\mathrm {d} F(x).$

Daraus ergeben sich die beiden folgenden wichtigen Spezialfälle:

• Ist die Verteilungsfunktion $F(x)$ absolut stetig mit der Dichtefunktion $f(x)$, dann ist

$\varphi _{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,e^{\mathrm {i} tx}\,\mathrm {d} x\,.$

• Ist $F(x)$ diskret mit Sprungpunkten in $\{x_{1},x_{2},\ldots \}$, dann gilt

$\varphi _{X}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }e^{\mathrm {i} tx_{k}}P(X=x_{k})\,.$

Eigenschaften

Für eine charakteristische Funktion $\varphi$ gilt für jede relle Zahl $t\in \mathbb {R}$:

Beschränktheit

$|\varphi _{X}(t)|\leq \varphi _{X}(0)=1\,.$

Lineare Transformation

$\varphi _{aX+b}(t)=e^{\mathrm {i} tb}\varphi _{X}(at)$   für alle reellen $a,b\in \mathbb {R} \,.$

Umkehrfunktion

$f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\mathrm {i} tx}\varphi _{X}(t)\,\mathrm {d} t\,.$

Momenterzeugung

$\operatorname {E} (X^{k})={\frac {\varphi _{X}^{(k)}(0)}{\mathrm {i} ^{k}}}$   für alle natürlichen $k\in \mathbb {N}$, falls $\operatorname {E} (|X|^{k})<\infty$.

Insbesondere ergeben sich die Spezialfälle

$\operatorname {E} (X)={\frac {\varphi _{X}'(0)}{\mathrm {i} }}\,,$

$\operatorname {E} (X^{2})=-\varphi _{X}''(0)\,.$

Wenn ein $n\in \mathbb {N}$ existiert mit $\operatorname {E} (|X|^{n})<\infty$, dann ist $\varphi _{X}$ $n$-mal stetig differenzierbar und in eine Taylor-Reihe um $0$ entwickelbar:

$\varphi _{X}(t)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {\varphi _{X}^{(k)}(0)}{k!}}t^{k}+R_{n+1}(t)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {(\mathrm {i} t)^{k}}{k!}}\operatorname {E} (X^{k})+R_{n+1}(t)\,.$

Ein wichtiger Spezialfall ist die Entwicklung einer Zufallsvariablen $X$ mit $\operatorname {E} (X)=0$ und $\operatorname {Var} (X)=1$:

$\varphi _{X}(t)=1-{\frac {1}{2}}t^{2}+R_{3}(t)$   mit   $\lim \limits _{t\rightarrow 0}{\frac {R_{3}(t)}{t^{2}}}=0\,.$

Definitheit

Jede charakteristische Funktion $\varphi$ ist positiv semidefinit, das heißt es ist für beliebige reelle Zahlen $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ und beliebige komplexe Zahlen $z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}$

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}\varphi (t_{i}-t_{k})\;z_{i}\;{\bar {z_{k}}}\geq 0.$

Umgekehrt ist jede positiv semidefinite Funktion $\varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ mit $\varphi (0)=1$ eine charakteristische Funktion (Satz von Bochner).

Faltungsformel für Dichten

Bei unabhängigen Zufallsvariablen $X_{1}$ und $X_{2}$ gilt für die charakteristische Funktion deren Addition $Y=X_{1}+X_{2}$:

$\varphi _{Y}(t)=\varphi _{X_{1}}(t)\,\varphi _{X_{2}}(t)\,.$

Dies folgt daraus, dass bei der Fouriertransformation aus der Faltung der Wahrscheinlichkeitsdichten

$f_{Y}(y)=\int _{\mathbb {R} }f_{X_{1}}(x_{1})f_{X_{2}}(y-x_{1})\mathrm {d} x_{1}=\int _{\mathbb {R} }f_{X_{1}}(y-x_{2})f_{X_{2}}(x_{2})\mathrm {d} x_{2}=f_{X_{1}}(x_{1})*f_{X_{2}}(x_{2})$

ein Produkt der charakteristischen Funktionen wird.

Eindeutigkeitssatz

Es gilt der folgende Eindeutigkeitssatz: Wenn $X$, $Y$ Zufallsvariablen sind und $\varphi _{X}(t)=\varphi _{Y}(t)$ für alle $t\in \mathbb {R}$ gilt, dann ist $X{\overset {d}{=}}Y$, d. h. $X$ und $Y$ haben die gleiche Verteilungsfunktion. Folglich kann man damit die Faltung einiger Verteilungen leicht bestimmen.

Aus dem Eindeutigkeitssatz lässt sich der Stetigkeitssatz von Lévy-Cramér folgern: Wenn $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von Zufallsvariablen ist, dann gilt $X_{n}{\stackrel {d}{\rightarrow }}X$ (Konvergenz in Verteilung) genau dann, wenn $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\varphi _{X_{n}}(t)=\varphi _{X}(t)$ für alle $t\in \mathbb {R}$ gilt. Diese Eigenschaft kann bei zentralen Grenzwertsätzen ausgenutzt werden.

Beispiele

diskrete Verteilungen:

• Ist $X\sim B(n,p)$ binomialverteilt, dann ist $\varphi _{X}(t)=\left(pe^{\mathrm {i} t}+1-p\right)^{n}$.
• Ist $X\sim P(\lambda )$ poissonverteilt, dann ist $\varphi _{X}(t)=e^{\lambda \left(e^{\mathrm {i} t}-1\right)}$.
• Ist $X\sim NB(r,p)$ negativ binomialverteilt, dann ist $\varphi _{X}(t)=\left({\frac {1-pe^{\mathrm {i} t}}{1-p}}\right)^{-r}$.

absolutstetige Verteilungen:

• Ist $X\sim N(0,1)$ standardnormalverteilt, dann ist $\varphi _{X}(t)=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}$.
• Ist $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ normalverteilt, dann ist $\varphi _{X}(t)=e^{\mathrm {i} t\mu }e^{-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}$.
• Ist $X\sim U(a,b)$ gleichverteilt, dann ist $\varphi _{X}(t)={\frac {e^{\mathrm {i} bt}-e^{\mathrm {i} at}}{\mathrm {i} (b-a)t}}$.

• Ist $X\sim \;G(b,p)$ gammaverteilt, dann ist $\varphi _{X}(t)=\left({\frac {b}{b-\mathrm {i} t}}\right)^{p}$.
• Ist $X\sim \;C(0,1)$ Standard-Cauchy-verteilt, dann ist $\varphi _{X}(t)=e^{-|t|}$.

Als Folgerung ergibt sich mit obigem Eindeutigkeitssatz die Reproduktivität dieser Verteilungen.

Literatur

• Eugen Lukacs: Characteristic functions. Griffin, London 1960 (2., erweiterte Auflage 1970), ISBN 0-85264-170-2