Lebesgue-Maß

Das Lebesgue-Maß (nach Henri Léon Lebesgue) ist das übliche verwendete Maß im euklidischen Raum. Das Lebesgue-Maß wird verwendet um geometrischen Objekten (oder allgemeiner Mengen im euklidischen Raum) einen Inhalt (Volumen, Fläche, ..) zuzuordnen und es ist das zentrale Objekt, um das Lebesgue-Integral zu definieren. Das Lebesgue-Maß von einfachen geometrischen Objekten ist deren Volumen (im 3-dimensionalen), bzw Fläche oder Länge (für zwei- bzw ein-dimensionale Objekte). Das Maß ist jedoch viel allgemeiner als der naive Inhaltbegriff, es erlaubt auch komplizierten (aber nicht allen) Mengen einen wohldefinierten Wert als Inhalt zuzuorden.

Genaugenommen ist das Lebesque-Maß eigentlich der richtige Begriff für Volumen und Flächeninhalt. Dieses Konzept steht als Endprodukt einer ganzen Reihe von Ideen, die versuchten den Begriff Volumen mathematisch exakt zu fassen. Erst mit dem Lebesgue-Maß kann dieser Prozess als abgeschlossen gelten.

Konstruktion des Lebesgue-Maß

Eine mögliche Definition des Lebesgue-Maß ist die Konstruktion von Carathéodory. Für eine gegebene Menge A definiert man

$\lambda ^{*}(A):=\inf \left\{\sum _{i\geq 1}vol(A_{i}):A\subseteq \bigcup _{i\geq 1}A_{i},A_{i}\in {\mathcal {D}}\right\}$

Hier ist ${\mathcal {D}}$ die Menge der dyadischen Elementarzellen und vol(A) das Volumen von A. Da dies nur aus Produkten von Intervallen besteht lässt sich das Volumen einfach als Produkt der einzelnen Seitenlängen berechnen.

$\lambda ^{*}$ ist ein metrisches äußeres Maß und somit auf der Potenzmenge der zugrunde liegenden Menge X definiert. Alle bezüglich $\lambda ^{*}$ messbaren Mengen aus ${\mathcal {P}}(X)$ bilden eine Sigma-Algebra ${\mathcal {A}}$ und $\lambda ^{*}$ darauf ein Maß (also $\lambda (A):=\lambda ^{*}(A)\vert _{\mathcal {A}}$).

Eine Menge $A\in {\mathcal {P}}(X)$ ist Lebesgue-messbar wenn $\forall B\in {\mathcal {P}}(X)$ gilt:

$\lambda ^{*}(B)=\lambda ^{*}(A\cap B)+\lambda ^{*}(B\setminus A)$

(siehe Messbarkeit nach Carathéodory)

Es gibt sowohl messbare als auch nichtmessbare Mengen. Die nichtmessbaren Mengen gelten aber als Ausnahmefall, tatsächlich ist es nicht möglich eine nichtmessbare Menge einfach hinzuschreiben. Jede Definition einer solchen ist nicht konstruktiv und benötigt das Auswahlaxiom. (Ein Paradoxon, das auf nichtmessbaren Mengen beruht, ist das Banach-Tarski-Paradoxon) In diesem Sinn kann man als Faustregel davon ausgehen, dass alle in der Realität auftauchenden Mengen Lebesgue-messbar sind.

Nullmenge

Mengen, deren Lebesgue-Maß 0 (obwohl die Mengen nicht leer sind) ist, bezeichnet man als Nullmengen.

Zum Beispiel ist jede abzählbare Menge eine Nullmenge. Ferner ist jede abzählbare Vereinigung von Nullmengen eine Nullmenge.

Es gibt aber auch nicht abzählbare Nullmengen. Nullmengen kann man sich gewissermaßen als nebelartige Gebilde vorstellen, die kein vernünftiges Volumen haben.

siehe auch: Maßtheorie