Elektromagnetische Welle

Damit erhält man also aus (4) die Gleichung

${\partial ^{2}{\vec {E}} \over \partial t^{2}}=c^{2}\Delta {\vec {E}},$

die für jede Komponente eine Wellengleichung der Form (5) darstellt. Ihre Lösungen sind Wellen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten.

Breitet sich die Welle in linearen Materialien mit dem Dielektrizitätskonstante ε und der Permeabilität μ aus, so ist die Lichtgeschwindigkeit etwas niedriger, nämlich

$c={1 \over {\sqrt {\mu _{0}\mu \varepsilon _{0}\varepsilon }}},$

wobei im aber allgemeinen die Materialkonstanten nicht linear sind, sondern selbst z.B. von der Feldstärke oder der Frequenz abhängen.

Während das Licht sich in der Luft immer noch fast mit Vakuumlichtgeschwindigkeit ausbreitet (die Materialkonstanten sind in guter Näherung 1), gilt das für Wasser schon nicht mehr, was u.a. den Tscherenkow-Effekt ermöglicht.

Weiterhin ist auch eine mathematische Beschreibung mit Hilfe von Potentialen moeglich, denn wegen

$(1)\quad \nabla \cdot \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)=0$

und

$(2)\quad \nabla \cdot {\vec {B}}=0$

kann der Feldvektor der magnetischen Flussdichte auch als Rotation eines Vektorfeldes A aufgefasst werden. A wird deshalb das Vektorpotential von B genannt und es gilt:

$(3)\quad {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}$

Diese Beziehung kann nun weiter verwendet werden. Die Rotation des elektrischen Feldes ist bestimmt durch

$(4)\quad \nabla \times {\vec {E}}=-{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}$

Setzt man nun die eben gewonnene Beziehung aus (3) in (4) ein, so erhaelt man

$(5)\quad \nabla \times {\vec {E}}=-{{\partial } \over {\partial t}}\nabla \times {\vec {A}}$

und daraus folgt

$(6)\quad \nabla \times \left\lbrack {\vec {E}}+{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\right\rbrack =0$

Nun verschwindet aber die Rotation eines jeden Gradienten, so dass der innere Ausdruck von (6) als Gradient einer skalaren Funktion aufgefasst werden kann:

$(7)\quad -\nabla \phi ={\vec {E}}+{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}$

$(8)\quad {\vec {E}}=-\nabla \phi -{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}$

Dies kann nun wieder in den urspruenglichen Maxwell-Gleichungen verwendet werden. Mit

$(9)\quad \nabla \cdot {\vec {E}}={\rho \over \epsilon }$

$(10)\quad \nabla \times {\vec {B}}=\mu \kappa {\vec {E}}+\mu \epsilon {{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}$

und (8) und der Beziehung

$\quad \nabla \times \nabla \times {\vec {A}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})-\nabla ^{2}{\vec {A}}$

erhaelt man

$(11)\quad \nabla ^{2}\phi +{{\partial } \over {\partial t}}\nabla \cdot {\vec {A}}=-{\rho \over \epsilon }$

$(12)\quad \nabla ^{2}{\vec {A}}-\mu \epsilon {{\partial ^{2}{\vec {A}}} \over {\partial t^{2}}}-\mu \kappa {{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}-\nabla \left\lbrack \nabla \cdot {\vec {A}}+\mu \epsilon {{\partial \phi } \over {\partial t}}+\mu \kappa \phi \right\rbrack =0$

Um diese Gleichungen (11) und (12) voneinander zu entkoppeln, wird verlangt, dass der Term unter dem Gradienten in (12) verschwindet (siehe Eichtransformation), also

$(13)\quad \nabla \cdot {\vec {A}}+\mu \epsilon {{\partial \phi } \over {\partial t}}+\mu \kappa \phi =0$

Ist die Bedingung aus (13) erfüllt, so ergibt sich aus (12) automatisch die Wellengleichung für das Vektorpotential A mit

$(14)\quad \nabla ^{2}{\vec {A}}-\mu \epsilon {{\partial ^{2}{\vec {A}}} \over {\partial t^{2}}}-\mu \kappa {{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}=0$

und aus (11) und (13) die Wellengleichung der skalaren Potentialfunktion mit

$(15)\quad \nabla ^{2}\phi -\mu \epsilon {{\partial ^{2}\phi } \over {\partial t^{2}}}-\mu \kappa {{\partial \phi } \over {\partial t}}=-{\rho \over \epsilon }$

Im quellfreien Vakuum folgt

$(16)\quad \nabla ^{2}{\vec {A}}-\mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial ^{2}{\vec {A}}} \over {\partial t^{2}}}=0$

$(17)\quad \nabla ^{2}\phi -\mu _{0}\epsilon _{0}{{\partial ^{2}\phi } \over {\partial t^{2}}}=0$

Diese Beschreibung elektromagnetischer Phänomene kann durch Eichtransformation an verschiedene Probleme angepasst werden um diese zu vereinfachen.

Weblinks

• Umrechnung: Frequenz in Wellenlänge und zurück - Elektromagnetische Wellen und Schallwellen