Indexmenge (Mathematik)

In der Mathematik kennzeichnet der Index (Plural: Indizes) die Glieder einer Folge oder Reihe oder die Komponenten eines Tupels oder einer Matrix. In den Anfängen der Mathematik der Neuzeit wurde auch ein Funktionswert – f(x) in moderner Schreibweise – mittels tiefgestelltem x als f_x bezeichnet. Die Notation a_i für die Glieder einer Folge (als Funktion über natürlichen Zahlen) kann als Überbleibsel dieser älteren Schreibweise angesehen werden.

Wie aus der Schreibung f_x schon hervorgeht, müssen die Indizes keineswegs immer natürliche Zahlen sein. Vielmehr kann jede endliche oder unendliche Menge Λ als Indexmenge benutzt werden, um mathematische Objekte zu einer "Familie" $\{A_{\lambda }\mid \lambda \in \Lambda \}$ zusammenzufassen. (Siehe auch: Mengenlehre, Kartesisches Produkt)

In der Differentialgeometrie werden die Schnitte eines Vektorbündels oft in Indexschreibweise bezeichnet, um die Funktionsschreibweise für algebraische Operationen zwischen Fasern verschiedener Bündel über demselben Punkt frei zu haben.

Bei Funktionenscharen werden Scharparameter meist als Index notiert, während die „normalen“ Argumente in die Klammern hinter den Funktionsnamen geschrieben werden – z. B. $f_{t}(x).$

In der Physik, speziell in den Tensordarstellungen der Physik, werden doppelte Indizes zur verkürzten Notation von Summen verwendet (einsteinsche Summenkonvention).

In den obigen Anwendungen tritt der Index stets als tief- oder hochgestelltes Symbol auf. Daneben gibt es noch andere mathematische Bedeutungen des Begriffes „Index“:

• die Anzahl der Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation, siehe Index (Äquivalenzrelation)
• als Spezialfall davon: Die Anzahl der linken (oder auch rechten) Nebenklassen einer Untergruppe, siehe Index (Gruppentheorie)
• in der Differentialtopologie als Poincaré-Index zur Klassifikation kritischer Punkte.
• in der Funktionalanalysis als Fredholm-Index zur Untersuchung von Operatoren.