In der Mathematik ist eine Äquivalenzrelation eine Beziehung (Relation) zwischen Elementen einer Menge, die bestimmte Eigenschaften der "Gleichheit" verallgemeinert. Das bekannteste Beispiel bilden die rationalen Zahlen: Zwei Brüche a/b und c/d sind äquivalent (repräsentieren dieselbe rationale Zahl), wenn die Gleichung ad = bc gilt.
Definition
Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation auf einer nichtleeren Menge M, welche folgende Bedingungen erfüllt:
- Reflexivität:
- Symmetrie:
- Transitivität:
(Es gilt dann .)
Für ein Äquivalenzrelation schreibt man üblicherweise statt oder . Die drei Eigenschaften lassen sich dann so aufschreiben:
Ferner definiert man für eine Äquivalenzrelation für jedes Element a von M die so genannten Äquivalenzklasse von a in M:
![{\displaystyle [a]:=\{b\in M\,|\,a\sim b\}\ \ \forall a\in M}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e664c97e092e16da6b32ec30e9649a43090b72)
lies: die Äquivalenzklasse von a ist definiert als die Menge aller b aus M für die gilt, a ist äquivalent zu b
a ist der Repräsentant der Äquivalenzklasse [a]. Die Menge der Äquivalenzklassen ist
![{\displaystyle M/\!\sim \ :=[M]:=\{[a]\,|\,a\in M\}\ \ \forall a\in M}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7721a68af5164fba773c5b96a1ee3b42bce226b)
Eigenschaften
![{\displaystyle \forall {a}\in M:\,a\in [a]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a18a0444df232bb8938d85e30e7ab6c0c8f2c7)
![{\displaystyle \forall {a,b}\in M:\,a\in [b]\ \Rightarrow \ [a]=[b]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ea68cf22571e7fde08ce3179b99c05e95f36d5)
![{\displaystyle \forall {a,b}\in M:\,([a]=[b])\lor ([a]\cap [b]=\emptyset )}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe2a87b6deb275968d3bb409a3a8c57e9871847)
Erläuterung
Durch eine Äquivalenzrelation wird eine Menge in Äquivalenzklassen zerlegt.
Siehe auch Äquivalenz und Partition.
(bitte erweitern)
Beispiele
- Gleichheit auf beliebiger Menge S
- Menge Z der ganzen Zahlen, mit a ~ b genau dann, wenn a und b denselben Rest bei Division durch 5 haben
- Menge M der Schüler auf einer Schule, mit a ~ b genau dann, wenn die Schüler a und b in dieselbe Klasse gehen
Die zugehörigen Äquivalenzklassen sind:
- die Menge aller einelementigen Teilmengen von S; sie lässt sich umkehrbar eindeutig (bijektiv) auf die Menge S selbst abbilden
- die Menge {5Z, 5Z+1, ..., 5Z+4}, geschrieben als Z/5Z, ein Restklassenring
- die Menge, deren Elemente jeweils alle Schüler einer Klasse sind; sie lässt sich eineindeutig auf die Menge aller Klassen der Schule abbilden