Vollkommene Zahl

Eine vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl oder ideale Zahl) genannt, wenn sie die Summe ihrer (positiven) echten Teiler (d.h. aller Teiler ausser sich selbst) ist.

Die Zahl 6 ist also eine vollkommene Zahl, da die Summe ihrer Teiler gerade 1+2+3=6 ist.

Bereits Euklid stellte fest, dass sich die ersten vier vollkommenen Zahlen aus der Formel 2^n-1(2ⁿ - 1) berechnen lassen:

Für n = 2, $2^{1}(2^{2}-1)$ = 6
Für n = 3, $2^{2}(2^{3}-1)$ = 28
Für n = 5, $2^{4}(2^{5}-1)$ = 496
Für n = 7, $2^{6}(2^{7}-1)$ = 8128

Euklid bewies, dass diese Formel immer dann eine vollkommene Zahl liefert, wenn 2^n-1 eine Primzahl ist, dies sind die so genannten Mersenne-Primzahlen. Fast 2000 Jahre später könnte Leonhard Euler beweisen, dass auf diese Weise alle geraden vollkommenen Zahlen erzeugt werden.

Es ist unbekannt, ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt. Man weiß jedoch, dass eine solche Zahl, wenn es sie denn gäbe, größer als 10³⁰⁰ sein und mindestens 8 (bzw. 11 wenn die Zahl nicht durch 3 teilbar ist) verschiedene Primteiler haben müsste.

Verwandtschaft mit anderen Zahlenklassen

Abundante und Defiziente Zahlen

Abundante Zahlen sind solche Zahlen, bei denen die Teilersumme σ^* größer als die Zahl selber ist und Defiziente Zahlen sind solche, bei denen die Teilersumme σ^* kleiner als die Zahl selber ist.

Mehrfach vollkommene Zahlen

Eine natürliche Zahl n heißt mehrfach vollkommen, wenn die Summe der echten Teiler ein Vielfaches von n ist, also

σ^*(n) = kn wobei k > 0 eine natürliche Zahl ist.

Beispiel: Die Zahl 120 ist dreifach vollkommen, denn die Summe ihrer Teiler ist 360.

Pseudovollkommene Zahlen

Eine natürliche Zahl n heißt pseudovollkommen, wenn sie sich als Summe einiger verschiedener echter Teiler darstellen lässt.

Beispiel: 20 = 1 + 4 + 5 + 10 ist pseudovollkommen, weil der Teiler 2 in der Summendarstellung fehlt.

Merkwürdige Zahlen

Eine natürliche Zahl n heißt merkwürdig, wenn sie nicht pseudovollkommen und auch nicht vollkommen ist. D.h. sie kann nicht als Summe einiger oder aller verschiedener Teiler dargestellt werden.

Beispiel: Die Zahl 70 ist merkwürdig, denn sie kann nicht als Summe aus der Teilermenge 1,2,5,7,10,14,35 gebildet werden.

Befreundete Zahlen

Verwandt mit den vollkommenen Zahlen sind die befreundeten Zahlen bei denen die Summe der Teiler der einen Zahl jeweils die andere Zahl ergibt.

Weitere Eigenschaften der vollkommenen Zahlen

Summe der reziproken Teiler

Die Summe der reziproken Teiler k_i einer vollkommenen Zahl n ergibt 2.

{\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}+...=2

Darstellung von Eaton (1995,1996)

Jede gerade vollkommene Zahl n > 6 hat die Darstellung

n=1+{\frac {9}{2}}k(k+1)

mit\quad k=8j+2

Umgekehrt erhält man nicht zu jedem j eine vollkommene Zahl.

Beispiel:

j=0 ergibt k=2 ergibt n=28 vollkommen

j=1 ergibt k=10 ergibt n=496 vollkommen

j=2 ergibt k=18 ergibt n=1540 nicht vollkommen

Summe der ersten natürlichen Zahlen

Jede gerade vollkommene Zahl n lässt sich mit einer geeigneten natürlichen Zahl k darstellen als

n=\sum _{i=1}^{k}i

Beispiele:

6=\sum _{i=1}^{3}i

28=\sum _{i=1}^{7}i

496=\sum _{i=1}^{31}i