Austauschwechselwirkung

Die Austauschwechselwirkung ist eine Konsequenz des Pauli-Prinzips, und zwar eine logische Folge, die sich aus dem Austausch ununterscheidbarer Teilchen ergibt. Es handelt sich hierbei nicht um eine Wechselwirkung, die klassisch durch eine Kraft vermittelt wird, sondern einen rein quantenmechanischen Effekt, der sich jedoch wie eine klassische Wechselwirkung bemerkbar macht.

Vorüberlegungen

Nach dem Pauli-Prinzip ist die Gesamtwellenfunktion $\psi ({\vec {r}}_{i},s_{i})$, $i=1,\ldots ,n$ eines Systems von $n$ Fermionen antisymmetrisch, d. h. die Wellenfunktion wechselt bei paarweiser Vertauschung (Austausch) von jeweils zwei Teilchen ihr Vorzeichen: $\psi ({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})=-\psi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})$.

Physikalisch bedeutet das Pauli-Prinzip, dass zwei Fermionen niemals den selben Quantenzustand besetzen.

Bei einer Separation in Ortswellenfunktion und Spinwellenfunktion fordert die Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion bei symmetrischer Ortswellenfunktion eine antisymmetrische Spinwellenfunktion, und umgekehrt. Eine (anti)symmetrische Spinwellenfunktion kennzeichnet eine paarweise (anti)parallele Spinorientierung. Die Bedeutung einer antisymmetrischen Ortswellenfunktion soll im Beispiel weiter unten veranschaulicht werden.

Heuristische Darstellung der Austauschwechselwirkung

Für die Besetzung möglicher physikalischer Zustände ist deren Energieniveau entscheidend. Die Austauschwechselwirkung berücksichtigt den Einfluss des Pauli-Prinzips auf das Energieniveau eines Zustands. Unmittelbar hat das Pauli-Prinzip jedoch keinen Einfluss auf das Energiniveau unterschiedlicher Zustände. Der energetische Effekt des Pauli-Prinzips ist vielmehr mittelbarer Natur. Am einfachsten wird dies verdeutlicht anhand eines Beispiels mit lediglich zwei Fermionen:

=== Beispiel mit zwei Fermionen === (siehe Diskussion)

In einem solchen System können die beiden Spins parallel oder antiparallel ausgerichtet sein. Das Pauli-Prinzip ordnet diesen beiden Konstellationen keinen energetischen Unterschied zu, es verlangt lediglich, dass die zugehörigen Ortswellenfunktionen antisymmetrisch, respektive symmetrisch sind. Bei symmetrischer Wellenfunktion kann es vorkommen, dass man beide Fermionen an der selben Stelle vorfindet. Handelt es sich bei den Fermionen nun um gleichsinnig geladene Teilchen (z. B. Elektronen, die beide die Elementarladung $-e$ tragen), so stoßen sie sich aufgrund der Coulombkraft ab, d. h. je näher sich die Teilchen kommen, desto energetisch ungünstiger ist der Zustand. Die Elektronen versuchen somit einen maximalen Abstand einzunehmen.

Bei antisymmetrischer Ortswellenfunktion ist die Wahrscheinlichkeit, beide Fermionen an der selben Stelle zu finden, null. Dies folgt aus $\psi ({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})=-\psi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})$ für ${\vec {r}}_{1}={\vec {r}}_{2}$. Des Weiteren kann man berechnen, dass der durchschnittliche Abstand der beiden Teilchen bei einer antisymmetrischen Ortswellenfunktion größer ist. Daher ist bei gleichsinnig geladenen Teilchen eine antisymmetrische Ortswellenfunktion günstiger, die ihrerseits mit einer parallelen Spinorientierung korreliert. D. h. aus der Kombination des Pauli-Prinzips mit der Coulombabstoßung folgt, dass die Konstellation mit parallelen Spins energetisch günstiger ist.

Dies führt direkt zur Hundschen Regel und zu der Unterscheidung zwischem Para- und Ortho-Helium

Konsequenzen der Austauschwechselwirkung

Allgemein ist der Überlapp der Wellenfunktionen der einzelnen Fermionen begrenzt, auch ist ein Verlauf der Ortswellenfunktion denkbar, der antisymmetrische Lösungen auch für Fermionen liefert, die an unterschiedlichen Orten lokalisiert sind. Die begünstigte Spinordnung in einem beliebigen Fermionensystem hängt daher vom konkreten Verlauf der Wellenfunktion ab. In Festkörpern beobachtet man unterschiedlichste Spinordnungen, die die magnetischen Eigenschaften des jeweiligen Festkörpers prägen.

Siehe auch: Kooperatives Phänomen Ferromagnetismus, Antiferromagnetismus, Spindichtewelle