Dreiecksgeometrie

Dreieckstrigonometrie

Unter Dreieckstrigonometrie verstehen wir die Lehre von den Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln eines Dreiecks, seinen Umkreis-, Inkreis- und weiß der Geier was für Radien und sonstigen bekannten und weniger bekannten Größen. Die meisten dieser Beziehungen verwenden trigonometrische Funktionen.

Die folgende Liste enthält die meisten bekannten Formeln aus der Dreieckstrigonometrie einer ebenen Fläche.

In der sphärischen(räumlichen) Geometrie gelten andere Funktionen.

Dabei werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Das Dreieck ABC habe die Seiten a = BC, b = CA und c = AB, die Winkel α, β und γ bei den Ecken A, B und C.

Winkelsumme

α + β + γ = 180°.

Sinussatz

${\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }};\;\;\;\;{\frac {c}{a}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \alpha }};\;\;\;\;{\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}$

$a:\sin \alpha =b:\sin \beta =c:\sin \gamma$

$a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma$ (Verhältnisgleichung)

Kosinussatz

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

$\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

$\cos \beta ={\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}$

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

$a^{2}+bc\cos \alpha =b^{2}+ca\cos \beta =c^{2}+ab\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}$

Projektionssatz

$a=b\cos \gamma +c\cos \beta$

$b=c\cos \alpha +a\cos \gamma$

$c=a\cos \beta +b\cos \alpha$

Die Mollweideschen Formeln

${\frac {b+c}{a}}={\frac {\cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}};\;\;\;\;{\frac {b-c}{a}}={\frac {\sin {\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\cos {\frac {\alpha }{2}}}}$

Analoge Formeln gelten für (c + a)/b, (c - a)/b, (a + b)/c und (a - b)/c.

Tangenssatz

${\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}$

Analoge Formeln gelten für (c + a)/(c - a) und (a + b)/(a - b).

Trigonometrische Beziehungen zwischen den Winkeln

Die folgenden Formeln folgen nach mehr oder weniger langen Termumformungen aus α + β + γ = 180°, gelten also allgemein für drei beliebige Winkel α, β und γ mit α + β + γ = 180°, solange die die in den Formeln vorkommenden Funktionen wohldefiniert sind (letzteres betrifft nur die Formeln, in denen Tangense und Kotangense vorkommen).

$\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$

$\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta =1$

$\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}$

$\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}=1$

$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}$

$-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}$

$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1$

$-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1$

$\sin \left(2\alpha \right)+\sin \left(2\beta \right)+\sin \left(2\gamma \right)=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$-\sin \left(2\alpha \right)+\sin \left(2\beta \right)+\sin \left(2\gamma \right)=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma$

$\cos \left(2\alpha \right)+\cos \left(2\beta \right)+\cos \left(2\gamma \right)=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1$

$-\cos \left(2\alpha \right)+\cos \left(2\beta \right)+\cos \left(2\gamma \right)=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1$

$\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2$

$-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1$

$-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1$

$-\sin ^{2}\left(2\alpha \right)+\sin ^{2}\left(2\beta \right)+\sin ^{2}\left(2\gamma \right)=-2\cos \left(2\alpha \right)\sin \left(2\beta \right)\sin \left(2\gamma \right)$

$-\cos ^{2}\left(2\alpha \right)+\cos ^{2}\left(2\beta \right)+\cos ^{2}\left(2\gamma \right)=2\cos \left(2\alpha \right)\sin \left(2\beta \right)\sin \left(2\gamma \right)+1$

Formeln mit dem halben Umfang

Fortsetzung folgt...