Ohmsches Gesetz

Als ohmsches Gesetz (benannt nach seinem Entdecker Georg Simon Ohm) wird der bei bestimmten elektrischen Leitern vorliegende lineare Zusammenhang zwischen Spannungsabfall $U$ und hindurchfließendem elektrischen Strom $I$ bei konstanter Temperatur bezeichnet. Mathematisch wird diese Proportionalität als

$U\sim I\$

(lies: $U$ ist proportional zu $I$ ) formuliert. Die Proportionalitätskonstante wird dabei ohmscher Widerstand benannt und normgerecht mit dem Formelzeichen $R$ bezeichnet, womit sich die Gleichung

$U=R\cdot I$

ergibt. Um die Proportionalität von Spannung und Stromstärke bei konstantem Widerstand zu betonen, schreibt man auch

$R={\frac {U}{I}}=\mathrm {const.}$

Der ohmsche Widerstand ist ein wichtiger Sonderfall des allgemeineren elektrischen Widerstandes.

Lokale Betrachtungsweise/​maxwellsche Materialgleichung

In einer lokalen Betrachtung wird das ohmsche Gesetz durch den linearen Zusammenhang zwischen dem Stromdichte-Vektorfeld $\mathbf {\vec {J}} _{m}$ und dem elektrischen Feldstärke-Vektorfeld $\mathbf {\vec {E}} _{n}$ mit der elektrischen Leitfähigkeit $\mathbf {\sigma }$ als Proportionalitätsfaktor beschrieben, also

$\mathbf {\vec {J}} _{m}=\mathbf {\sigma } _{mn}\,\mathbf {\vec {E}} _{n}\,.$

In isotropen Materialien kann der Tensor $\sigma _{mn}$ durch einen Skalar ersetzt werden, und es gilt:

${\vec {J}}=\mathbf {\sigma } \,{\vec {E}}\,.$

Wenn man die Bewegung freier Elektronen wie die ungeordnete Molekülbewegung eines Gases betrachtet, kann man Konstanz der elektrischen Leitfähigkeit plausibel machen. Die Zähldichte $n$ der Elektronen ist dann innerhalb des Leiters konstant. Die mittlere Geschwindigkeit ${\bar {v}}$ der Elektronen ist

${\bar {v}}=10{,}6\cdot 10^{6}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$.

Die mittlere Wegstrecke $\lambda$ zwischen zwei Stößen an Ionen im Metall wird in einer typischen Zeit $\tau _{s}$ zurückgelegt:

$\lambda ={\bar {v}}\,\tau _{s}$.

In dieser Zeit erfahren die Elektronen eine Beschleunigung $a$ durch das angelegte elektrische Feld mit

$a={\frac {e\,E}{m_{e}}}\,,$

wobei $e$ die Elementarladung und $m_{e}$ die Elektronenmasse ist. Die Elektronen erreichen somit eine Driftgeschwindigkeit $v_{d}$ mit $v_{d}=a\tau _{s}$. Setzt man dieses in die Gleichung für $\sigma$ ein, so erhält man:

$\sigma ={\frac {J}{E}}={\frac {n\,e\,v_{d}}{E}}={\frac {n\,e\,a\,\tau _{s}}{E}}={\frac {n\,e^{2}\tau _{s}}{m_{e}}}={\frac {n\,e^{2}\lambda }{m_{e}\,{\bar {v}}}}$.

Die Größen $\lambda$ und ${\bar {v}}$ hängen nur von der Geschwindigkeitsverteilung innerhalb der „Elektronenwolke“ ab. Da die Driftgeschwindigkeit aber circa 10 Größenordnungen kleiner ist als die mittlere Geschwindigkeit ${\bar {v}}$, ändert sich die Geschwindigkeitsverteilung durch das Anlegen eines elektrischen Feldes nicht, und $\lambda$ und $\tau _{s}$ und somit der ganze Ausdruck für $\sigma$ sind konstant.