Die Skewes-Zahl (nach Stanley Skewes) ist eine obere Grenze für das Problem der überschätzten Primzahldichte. Ihr genauer Wert beträgt . Auch die Approximation ist gebräuchlich.
Geschichte
Das Problem der überschätzten Primzahldichte basiert auf einer Formel über die Verteilung der Primzahlen, die Carl Friedrich Gauß bereits im Alter von 14 Jahren aufgestellt haben soll (er veröffentlichte sie aber wesentlich später). Demnach kann π(x), die Anzahl der Primzahlen bis x, durch die Formel
angenähert werden. Vergleicht man mit konkreten Werten von , die man anhand von Primzahltabellen ermittelt, so ist stets , und man glaubte lange, dies gelte für alle Zahlen bis ins Unendliche.
Im Jahr 1914 bewies J. E. Littlewood[1], dass die Differenz Li(x) − π(x) bei größer werdendem x das Vorzeichen unendlich oft ändert. Die Gaußsche Formel unterschätzt also die Anzahl der Primzahlen in einem hinreichend großen Zahlenbereich .
1933 gab Stanley Skewes[2], der bei Littlewood in Cambridge studierte und mit dieser Arbeit bei ihm promovierte, mit der Zahl
eine erste konkrete Abschätzung für die Obergrenze, unterhalb der diese Unterschätzung erstmalig auftreten würde.
Diese Zahl liegt jenseits aller Vorstellungskraft. G. H. Hardy nannte die Skewes-Zahl „die größte Zahl, die je einem bestimmten Zweck in der Mathematik gedient hat“.[3] Spielte man Schach mit allen Teilchen des bekannten Universums (≈1078), so rechnete Hardy vor, entspräche die Zahl der möglichen Züge in etwa Skewes' Zahl.
Im Jahr 1971 wurde sie von Grahams Zahl von Platz eins verdrängt. Dies war jedoch lange nach Hardys Tod.
Inzwischen konnte durch Herman te Riele gezeigt werden, dass die Obergrenze für die erste auftretende Unterschätzung unterhalb von etwa 10371 liegen muss.[4] Das wurde nochmals durch Carter Bays und Richard Hudson 2000 auf verbessert (außerdem zeigten sie, dass mindestens aufeinanderfolgende ganze Zahlen nahe dieser Zahl die Abschätzung verletzen)[5]
Untere Grenzen für die Skewes Zahl stammen von J. B. Rosser und Lowell Schoenfeld[6] ( ), Richard P. Brent[7] ( ) und Kotnik 2008 ( ).[8]
Aurel Wintner zeigte 1941[9], dass der Anteil der natürlichen Zahlen, für die die Abschätzung verletzt ist, positives Maß hat, und M. Rubinstein und Peter Sarnak zeigten 1994, dass der Anteil bei etwa 0,00000026 liegt.[10]
Siehe auch
Weblinks
Einzelnachweise
- ↑ Littlewood: Sur la distribution des nombres premiers, Comptes Rendus Acad. Sci., Bd.158, 1914, S. 1869-1872
- ↑ Skewes: On the Difference Li(x) − π(x) I. J. London Math. Society, Bd. 8, 1933, S.277-283, Teil 2, Proc. London Math. Soc. Bd.5, 1955, S.48-70
- ↑ zitiert in Welles: The Penguin dictionary of curious and interesting numbers, Penguin 1997
- ↑ Herman te Riele: On the sign of the difference Li(x) − π(x), Mathematics of Computation, Bd. 48, 1987, S.323-328
- ↑ C. Bays, R. H. Hudson A new bound for the smallest x with , Mathematics of Computation, Bd. 69, 2000, S. 1285-1296
- ↑ Rosser, Schoenfeld: Approximate formulas for some functions of prime numbers, Illinois J. Math., Bd.6, 1962, S.64-94
- ↑ Mathematics of Computation, Bd. 29, 1975, S. 43
- ↑ Kotnik, Advances in Computational Mathematics, Bd. 29, 2008, S. 55
- ↑ Wintner: On the distribution function of the remainder term of the prime number theorem, American Journal of Mathematics, Bd. 63, 1941, S. 233
- ↑ Rubinstein, Sarnak: Chebyshevs bias, Experimental Mathematics, Bd. 3, 1994, S. 173-197
