Ortskurve (Systemtheorie)

Mit Hilfe der Ortskurve kann in der Systemtheorie die Abhängigkeit einer Größe mit sinusförmigem Zeitverhalten von einem Parameter (Veränderliche) dargestellt werden. Sie gibt den geometrischen Ort der Spitze des betreffenden Zeigers in der komplexen Ebene als Funktion der Veränderlichen an.^[1]

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Mit der Frequenz der sinusförmigen Größe als Parameter stellt die Ortskurve den Frequenzgang dar. Es handelt sich um die Ortskurve des Frequenzgangs, die zum Beispiel in der Regelungstechnik gebraucht wird. In der komplexen Wechselstromrechnung werden außer der Ortskurve des Frequenzgangs auch Ortskurven für den komplexen Widerstand, den komplexen Leitwert und für andere komplexe elektrische Größen verwendet. Parameter ist beispielsweise der Widerstandswert eines ohmschen Widerstands, einer Spule oder eines Kondensators.

Gleichungen für die Ortskurve

In der Komplexen Wechselstromrechnung gilt für die Ortskurve folgende allgemeine Gleichung:^[2]

{\underline {O}}(p)={\frac {{\underline {A}}+{\underline {B}}p+{\underline {C}}p^{2}+{\underline {D}}p^{3}+\ldots }{{\underline {a}}+{\underline {b}}p+{\underline {c}}p^{2}+{\underline {d}}p^{3}+\ldots }}

.

p\;

ist ein reeller Parameter, und

{\underline {A}}

, …,

{\underline {D}}

, … und

{\underline {a}}

, …,

{\underline {d}}

, … sind komplexe Größen.

Der Unterstrich zeigt an, dass es sich um komplexe Größen handelt. Er ist Brauch in der Schreibweise der komplexen Wechselstromrechnung. In der Regelungstechnik wird er weggelassen.

Als Frequenzgang hat diese Gleichung in der Regelungstechnik folgende gängige Schreibweise:^[3]

H(\mathrm {j} \omega )={\frac {Y(\mathrm {j} \omega )}{X(\mathrm {j} \omega )}}={\frac {b_{0}+b_{1}(\mathrm {j} \omega )+\ldots +b_{m}(\mathrm {j} \omega )^{m}}{a_{0}+a_{1}(\mathrm {j} \omega )+\ldots +a_{n}(\mathrm {j} \omega )^{n}}}

.

Die Kreisfrequenz

\omega \;

^[4] ist reeller Parameter, und Zähler- und Nenner-Polynom

Y(\mathrm {j} \omega )\;

beziehungsweise

X(\mathrm {j} \omega )\;

sind Fourier-Transformierte der sinusförmigen Ausgangs- beziehungsweise Eingangs-Funktion aus dem Zeitbereich in den komplexen Frequenzbereich.

Die prinzipielle Übereinstimmung zwischen beiden Gleichungen ist Hinweis darauf, dass in der komplexen Wechselstromrechnung und in der theoretischen Regelungstechnik dieselbe Art der mathematischen Beschreibung gebraucht wird.

Beispiele

Nachrichtentechnik

Ortskurve des Frequenzgangs eines Tiefpasses: komplexer Quotient V der sinusförmigen Ausgangs- zur Eingangsspannung

Ortskurven kommen zur Beschreibung des Übertragungsverhaltens von Schaltungen zum Einsatz, die lineare phasendrehende Bauteile (Kondensatoren, Spulen) enthalten und als imaginäre Blindwiderstände behandelt werden können. Typische Anwendungen sind Schwingkreise oder Filter, die elektrische Signale idealerweise nur bei bestimmten Frequenzen oder Frequenzbereichen passieren lassen und sonst sperren, siehe beispielsweise Tiefpass, Hochpass.

Der Frequenzgang eines Tiefpasses (siehe Abbildung) ist mit den Formelzeichen ${\underline {V}}$ für den Quotient aus komplexen Ausgangs- ${\underline {u}}_{a}(\mathrm {j} \omega )$ und komplexen Eingangssignal ${\underline {u}}_{e}(\mathrm {j} \omega )$ und $\omega \;$ für die Kreisfrequenz folgender Ausdruck:

{\underline {V}}(\mathrm {j} \omega )={\frac {{\underline {u}}_{a}(\mathrm {j} \omega )}{{\underline {u}}_{e}(\mathrm {j} \omega )}}

(oder

H(\mathrm {j} \omega )\;

anstatt allgemein

{\underline {O}}(p)

).

Bei einem Tiefpass als RC-Glied lautet die Gleichung:

{\underline {V}}(\mathrm {j} \omega )={\frac {{\underline {u}}_{a}(\mathrm {j} \omega )}{{\underline {u}}_{e}(\mathrm {j} \omega )}}={\frac {1}{1+CR\mathrm {j} \omega }}

.

Das Zähler-Polynom ist reduziert auf

1\;

.

Das in der Regelungstechnik vorkommende PT₁-Glied unterscheidet sich vom dargestellten Tiefpass nur durch andere Konstanten: $K\;$ statt $1\;$ und $T\;$ statt $RC\;$ :

H(\mathrm {j} \omega )={\frac {K}{1+T\mathrm {j} \omega }}

Regelungstechnik

Ortskurve des Frequenzgangs eines PT₂-Glied (K = 1; d < 1)

Die in der Regelungstechnik verwendete Ortskurve des Frequenzgangs wird auch Nyquist-Diagramm genannt. Harry Nyquist hat mit Hilfe dieser Ortskurve ein Stabilitätskriterium für Regelungen formuliert.

Die Ortskurve des Frequenzgangs wird sowohl für einzelne Bauteile als auch für Bauteilgruppen bis zur kompletten Kette des aufgeschnittenen Regelkreises gezeichnet und verwendet. Abgebildet ist die Kurve für ein PT₂-Glied (Verstärker mit Verzögerung 2. Ordnung).

Der Frequenzgang dieses Glieds ist mit dem Verstärkungsfaktor $K\;$ dem Dämpfungsmaß $d\;$ und der Zeitkonstante $T\;$ folgender Ausdruck:

H(\mathrm {j} \omega )={\frac {Y(\mathrm {j} \omega )}{X(\mathrm {j} \omega )}}={\frac {K}{1+2dT\mathrm {j} \omega -T^{2}\omega ^{2}}}

(anstatt allgemein

{\underline {O}}(p)

).

Elektrische Energietechnik

Ortskurve der Impedanz Z (Reihenschaltung aus Induktivität jωL und variablem Ohmschen Widerstand R(p))

In der Energietechnik ist die Frequenz des Stroms konstant, weshalb mit Ortskurven Übertragungsverhältnisse dargestellt und untersucht werden, die mit einem anderen Parameter als der Frequenz variieren. Als variable Größen im System kommen die Werte von ohmschen Widerständen, Spulen und Kondensatoren in Frage. Am häufigsten wird die Impedanz (Quotient aus komplexer Spannung $u$ und komplexem Strom $i$ oder der komplexe Leitwert (Quotient aus komplexem Strom und komplexer Spannung) dargestellt.

Die komplexe Gleichung für die Impedanz ist mit dem Parameter $p$ (in R = p · R₀) und dem Zeichen ${\underline {Z}}$ für die Impedanz (siehe Abbildung) folgender Ausdruck:

{\underline {Z}}(p)={\frac {{\underline {u}}(p)}{{\underline {i}}(p)}}=L\mathrm {j} \omega +R_{0}p

(anstatt allgemein

{\underline {O}}(p)

).

Das Nenner-Polynom ist reduziert auf

1

.

Erstellung von Ortskurven

Die mit Ortskurven darstellbaren Beziehungen lassen sich durch Messung von Betrag und Phase ermitteln, und die Kurven lassen sich punktweise mit den Messwertpaaren in der komplexe Ebene zeichnen. Die erste und die dritte der Abbildungen zeigen, dass Ortskurven oftmals eine einfache geometrische Form haben und aus wenigen Messwertpaaren gefolgert werden können.

Dieser Tatbestand macht es auch möglich, solche einfachen Ortskurven (Geraden, Kreise, Parabeln) rein theoretisch anzugeben, was insbesondere bei qualitativen Betrachtungen genügen kann. Ihre Inversionen haben ebenfalls einfache geometrische Formen.

Inversion von Ortskurven

Die Inversion von Ortskurven besitzt beispielsweise Bedeutung bei der Kehrwertbildung zur Berechnung des Leitwertes Y aus der Impedanz Z, Y = 1/Z. Sie ist ein Spezialfall der Möbiustransformation und kann in einfachen Fällen mithilfe folgender Grundregeln und der Inversion einzelner Punkte grafisch durchgeführt werden.

ursprüngliche Ortskurve	invertierte Ortskurve
Gerade durch den Ursprung	Gerade durch den Ursprung
Gerade nicht durch den Ursprung	Kreis durch den Ursprung
Kreis durch den Ursprung	Gerade nicht durch den Ursprung
Kreis nicht durch den Ursprung	Kreis nicht durch den Ursprung

Siehe auch

Literatur

Wilfried Weißgerber: Elektrotechnik für Ingenieure 2, 5 Ortskurven. 6. Auflage. Vieweg + Teubner, 2007, ISBN 978-3-8348-0191-3.
Heinz Unbehauen: Regelungstechnik 1. 14. Auflage. Vieweg + Teubner, 2007, ISBN 978-3-384-80230-9, S. 80 – 86.

Einzelnachweise

↑ Wilhelm H. Westphal (Hrsg.): Physikalisches Wörterbuch. Springer, 1952.
↑ Wilfried Weißgerber: Elektrotechnik für Ingenieure 2. 5 Ortskurven. 6. Auflage. Vieweg + Teubner, 2007, ISBN 978-3-8348-0191-3.
↑ zum Beispiel in Jan Lunze: Regelungstechnik 1. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-70790-5, S. 224.
↑ Weil der reelle Parameter ω immer zusammen mit der imaginären Einheit j auftritt, hat es sich – insbesondere in der Regelungstechnik – eingebürgert, j·ω als Parameter zu schreiben.

[westph-1] Wilhelm H. Westphal (Hrsg.): Physikalisches Wörterbuch. Springer, 1952.

[weißg-2] Wilfried Weißgerber: Elektrotechnik für Ingenieure 2. 5 Ortskurven. 6. Auflage. Vieweg + Teubner, 2007, ISBN 978-3-8348-0191-3.

[3] zum Beispiel in Jan Lunze: Regelungstechnik 1. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-70790-5, S. 224.

[4] Weil der reelle Parameter ω immer zusammen mit der imaginären Einheit j auftritt, hat es sich – insbesondere in der Regelungstechnik – eingebürgert, j·ω als Parameter zu schreiben.

[1]

[2]

[3]

[4]