Raketengleichung

Die Raketengleichung beschreibt, wie eine Rakete unter Ausstoß ihres Treibstoffes beschleunigt. Es werde dabei angenommen, dass die Rakete im gravitationsfreien Vakuum beschleunige, um bei dieser Betrachtung jegliche Abbremsung (Gravitationsanziehung, Reibung) vernachlässigen zu können.

Die Rakete stoße Treibstoff mit einer konstanten Ausströmgeschwindigkeit v_g aus. Die Rakete habe beim Start die Geschwindigkeit v₀ (meist 0) und die Masse m₀.

Dann beträgt die Geschwindigkeit nach der Zeit t (m(t) ist die Masse zur Zeit t):

$v(t)=v_{0}+v_{g}\;\ln \left({\frac {m_{0}}{m(t)}}\right)$

Detaillierte Herleitung der Gleichung

Bei der Beschleunigung strömt Treibstoff mit einer Geschwindigkeit v_g nach hinten aus und beschleunigt so die Rakete, die eine Masse m(t) zum Zeitpunkt t habe, nach vorne. Diese Beschleunigung muss dem Impulserhaltungssatz gehorchen. Mit einer Raketengeschwindigkeit von v(t) vor dem Ausstoß hat man einen Impuls von m(t) v(t).

Beim Antrieb werde nun ein kleiner Teil der Raketenmasse (dm) als Treibstoff ausgestoßsen. Nach dem Ausstoß hat die Rakete zum Zeitpunk t + dt eine verminderte Masse (m(t) - dm) und eine erhöte Geschwindigkeit (v(t+dt)); der Raketenimpuls ist damit (m(t) - dm) (v(t+dt). Der ausgestoßsene Treibstoff mit Masse dm und Geschwindigkeit v(t)-v_g hat einen Treibstoffimpuls von dm (v(t)-v_g).

Damit entsteht die Impulserhaltungsgleichung $m(t)v(t)\;=\;(m(t)-dm)v(t+dt)\,+\,dm(v(t)-v_{g})$

Diese Gleichung kann man numerisch für einzelne Zeitschritte lösen. Wenn man einen kontinuierlichen Treibstoffausstoß annimmt, kann man obige Gleichung als Differentialgleichung auffassen und erhält als Lösung die oben angegebene Raketengleichung.