Jordansche Normalform

Die jordansche Normalform ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Sie ist ein einfacher Vertreter der Äquivalenzklasse der zu einer trigonalisierbaren Matrix (trigonalisierbaren linearen Abbildung) ähnlichen Matrizen (linearen Abbildungen). Die Trigonalisierbarkeit ist gleichbedeutend damit, dass das charakteristische Polynom der Matrix (linearen Abbildung) vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Benannt wurde die jordansche Normalform nach Marie Ennemond Camille Jordan, der sie 1871 im Zusammenhang mit der Lösung komplexer Differentialgleichungssysteme für komplexe Matrizen herleitete.

Die jordansche Normalform zu einer quadratischen Matrix $A$ über den komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ ist eine Matrix $J$ in der folgenden Blockdiagonalform

$J={\begin{pmatrix}J_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&J_{k}\end{pmatrix}}=Q^{-1}AQ.$

Die Matrix $Q$ ist die Matrix der Eigenvektoren und Hauptvektoren, aus denen sie spaltenweise besteht. $Q^{-1}$ bezeichnet dabei die inverse Matrix von $Q$. Die $J_{i}$ sind die Jordan-Blöcke. Diese haben folgende Form:

$J_{i}={\begin{pmatrix}\lambda _{i}&1&&&0\\&\lambda _{i}&1&&\\&&\ddots {}&\ddots {}\\&&&\lambda _{i}&1\\0&&&&\lambda _{i}\end{pmatrix}}.$

Die $\lambda _{i}$ sind dabei die Eigenwerte von $A$. Zu jedem Eigenwert $\lambda _{i}$ gibt es seiner geometrischen Vielfachheit entsprechend viele Jordan-Blöcke. (Die geometrische Vielfachheit ist dabei die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert $\lambda _{i}$.) Die Gesamtdimension aller Jordan-Blöcke eines Eigenwertes entspricht seiner algebraischen Vielfachheit, d. h. seiner Vielfachheit im charakteristischen Polynom.

In einem Jordanblock sind die sogenannten Jordanketten „gespeichert“ (siehe Hauptvektor). Besteht $A$ z. B. nur aus einem Jordanblock mit Eigenwert $\lambda$ und bezeichne $v_{j}$ den $j$-ten Hauptvektor (dabei ist $v_{1}$ der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$), dann gilt $(A-\lambda E)v_{1}=0$ und $(A-\lambda E)v_{j+1}=v_{j}$ für $j=1,\dots ,n-1$.

Es existiert noch die alternative Darstellung der Jordanblöcke mit 1 in der unteren Nebendiagonalen.

Im Spezialfall einer diagonalisierbaren Matrix ist die jordansche Normalform eine Diagonalmatrix.

Zur Form von $Q$

Es seien ${\vec {h}}_{i,1},\ldots ,{\vec {h}}_{i,l},\ldots ,{\vec {h}}_{i,n_{j}}$ die Hauptvektoren der jeweils $l$-ten Stufe, wobei $n_{j}$ die Dimension des $j$-ten Jordankästchens ist.

Dann ist $Q$, definiert durch

$Q:={\vec {h}}_{1,1},\ldots {},{\vec {h}}_{1,n_{1}},\ldots {},{\vec {h}}_{k,1},\ldots ,{\vec {h}}_{k,n_{k}},$

eine Transformationsmatrix, welche die Jordan-Normalform von $A$ herstellt, wobei $k$ die Anzahl der Jordankästchen war.

In Worten: Die Spalten von $Q$ sind die Eigenvektoren mit den dazugehörigen Hauptvektoren in der Reihenfolge der dazugehörigen Jordankästchen. Allerdings ist $Q$ nicht eindeutig bestimmt.

Algorithmus zur Bestimmung einer komplexen jordanschen Normalform

Für die jordansche Normalform eines Endomorphismus $u:V\to V$ eines $n$-dimensionalen $\mathbb {C}$-Vektorraums $V$ wählt man eine Basis $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ des Vektorraums $V$ und berechnet die jordansche Normalform der Matrix von $u$ in Bezug auf die Basis $a$, also die Matrix zum Basiswechsel $M_{a}(u)$.

Im Folgenden wird die komplexe jordansche Normalform einer (quadratischen) Matrix bestimmt.

Sei im Folgenden $V=\mathbb {C} ^{n},A\in M_{n}(\mathbb {C} ),\lambda \in \mathbb {C}$ und $E_{n}$ die Einheitsmatrix.

Bestimmung der Eigenwerte

Mit Hilfe des charakteristischen Polynoms

$\chi _{A}=\det \left(\lambda E_{n}-A\right)$

errechnet man aus seinen Nullstellen die (paarweise verschiedenen) Eigenwerte

$\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}.$

Die Eigenwerte werden hier also nicht ihrer Vielfachheit entsprechend aufgeführt.

Bestimmung der Größe der Jordanblöcke

Hierfür muss man die Dimension der Potenzen der Eigenräume bestimmen. Das heißt, man berechnet $\dim _{\mathbb {C} }\ker(A-\lambda _{i}E)^{s}$ für $1\leq i\leq k$ und $s\geq 0$.

Die Dimension des Kerns erhält man wiederum aus dem Dimensionssatz: $\dim _{\mathbb {C} }(V)=\dim _{\mathbb {C} }\ker(A)+\mathrm {rg} (A)$. Der Rang von $A$ kann z. B. mit dem gaußschen Algorithmus bestimmt werden. Die Dimension wird ab einem bestimmten Wert für $s$ (spätestens bei der Vielfachheit des Eigenwertes im charakteristischen Polynom) stationär.

Mit $a_{s}:=\dim _{\mathbb {C} }\ker(A-\lambda _{i}E)^{s}$ definiert man also positive Zahlen, um mit der Formel $2a_{s}-a_{s-1}-a_{s+1}$ die Anzahl der Jordankästchen der Größe s zum Eigenwert $\lambda _{i}$ zu erhalten.

Komplexe jordansche Normalform

Die erhaltenen Jordanblöcke schreibt man in eine Matrix und erhält die komplexe jordansche Normalform einer Matrix. Haben die Kästchen allesamt die Größe 1, liegt der Spezialfall einer Diagonalmatrix vor, und $A$ ist somit diagonalisierbar.

Das Minimalpolynom $g\in \mathbb {C} [X]$ von $A$ erhält man aus $g=\prod _{i=1}^{k}(X-\lambda _{i})^{m_{i}}$, worin $m_{i}$ die Größe des größten Jordanblocks zum Eigenwert $\lambda _{i}$ bezeichnet.

Die jordansche Normalform ist bis auf die Reihenfolge der Kästchen eindeutig bestimmt. Sofern alle Eigenwerte in $\mathbb {K}$ liegen, sind zwei Matrizen, welche dieselbe jordansche Normalform haben, zueinander ähnlich.

Beispiel

Man betrachte die Matrix $A\in M_{5}(\mathbb {C} )$, die wie folgt definiert ist

$A:={\begin{pmatrix}25&-16&30&-44&-12\\13&-7&18&-26&-6\\-18&12&-21&36&12\\-9&6&-12&21&6\\11&-8&15&-22&-3\end{pmatrix}}.$

Ihr charakteristisches Polynom lautet $\chi (A)=(X-3)^{5}$. Somit besitzt diese Matrix genau einen Eigenwert, nämlich 3. Nun berechnen wir die $a_{s}$ für $0\leq s\leq 5$.

$(A-3E_{5})^{0}$ ist die Einheitsmatrix, und diese hat vollen Rang, also 5. Die Dimension des Vektorraumes $V:={\mathbb {C} }^{5}$ beträgt ebenso 5. Also ist $a_{0}=\dim _{\mathbb {C} }(V)-\mathrm {rg} (A-3E_{5})^{0}=5-5=0$.

$\mathrm {rg} (A-3E_{5})^{1}=2$. Somit ist $a_{1}=\dim _{\mathbb {C} }(V)-\mathrm {rg} (A-3E_{5})^{1}=5-2=3$.

$\mathrm {rg} (A-3E_{5})^{2}=\cdots =\mathrm {rg} (A-3E_{5})^{5}=0$. Damit ist $a_{2}=\cdots =a_{5}=5-0=5$.

Die Anzahl der Jordankästchen mit Größe 1 sind $2a_{1}-a_{0}-a_{2}=6-0-5=1$ Stück.

Die Anzahl der Jordanblöcke mit Größe 2 sind $2a_{2}-a_{1}-a_{3}=10-3-5=2$ Stück.

Den anderen Kästchen bleibt jetzt nichts mehr anderes übrig, als die Größe 0 zu haben.

Somit ist ${\begin{pmatrix}3&1&0&0&0\\0&3&0&0&0\\0&0&3&1&0\\0&0&0&3&0\\0&0&0&0&3\end{pmatrix}}$ die jordansche Normalform von $A$. Das Minimalpolynom von $A$ ist $(X-3)^{2}$.

Bestimmung einer Basistransformation zur komplexen jordanschen Normalform

Nun soll eine Basistransformationsmatrix $P\in {\rm {GL}}(n;\mathbb {C} )$ bestimmt werden, die

$J=P^{-1}AP$

erfüllt. Sie ist durch diese Gleichung bekanntlich nicht eindeutig bestimmt. Das Verfahren verwenden die vorherige Kenntnis der komplexen jordanschen Normalform $J$.

Ein ineffizienter Brute-Force-Ansatz

Ein erster, aber nicht sehr geschickter Ansatz wäre der folgende: $J=P^{-1}AP$ ist offenbar äquivalent zu $PJ-AP=0$. Durch komponentenweise Betrachtung erhält man daraus

$\sum _{j=1}^{n}J_{jl}P_{kj}-\sum _{j=1}^{n}A_{kj}P_{jl}=0$ für alle $k,l\in \{1,\ldots ,n\}$.

Dies ist ein lineares (homogenes) Gleichungssystem von $n^{2}$ Gleichungen in den $n^{2}$ Unbekannten $P_{kl},\ k,l\in \{1,\ldots ,n\}$. Der Lösungsraum ist nichttrivial. Findet man unter den Lösungen $P=(P_{kl})_{k,l\in \{1,\ldots ,n\}}$ eine reguläre Matrix (so eine existiert auch, falls $J$ die jordansche Normalform ist), so ist $P$ eine Basistransformation mit $J=P^{-1}AP$.

Abgesehen davon, dass man noch durch geschickte Linearkombination der Basisvektoren des Lösungsraumes eine reguläre Matrix erzeugen muss (und zwar durch Ausprobieren, das ist eine ernstzunehmende algorithmische Schwachstelle), ist dieser Ansatz sehr ineffizient, da man ein unnötig großes Gleichungssystem lösen muss. Die Ursache besteht unter anderem darin, dass dieser Algorithmus keinen Gebrauch macht von den Informationen, die zur vorherigen Bestimmung der jordanschen Normalform ausgerechnet wurden. Er erkennt selbst im Fall einer diagonalisierbaren Matrix nicht, dass die Transformationsmatrix direkt durch die Eigenvektoren gegeben ist. Bereits bei kleinen Dimensionen wäre daher schon ein unverhältnismäßig großer Rechenaufwand nötig.

Ein Standard-Verfahren

Ein gängiges Verfahren, um eine Basistransformation zu erhalten, ist das folgende: Man bestimme (wie auch bei obigem naiven Ansatz) zunächst die Jordannormalform $J$. Dann hat man insbesondere schon alle Eigenwerte $\lambda$ berechnet sowie die Kerne ${\rm {Kern}}_{\mathbb {C} }(A-\lambda I)^{k}$ für alle $1\leq k\leq m(\lambda )$, worin $m(\lambda )\in \mathbb {N}$ die Dimension des größten Jordanblocks zum Eigenwert $\lambda$ bezeichnet. Anschließend arbeite man zur Bestimmung einer regulären Matrix $P$ mit $J=P^{-1}AP$ die Blöcke nacheinander ab. Dabei ist zu beachten, dass man bei Jordanblöcken zum selben Eigenwert stets vom größten Block zum kleinsten Block vorgeht.

Zu jedem Block der Größe $k$ und Eigenwert $\lambda$ werden $k$ Spalten der Basistransformationsmatrix $v^{1},\ldots ,v^{k}$ nach einem bestimmten Schema bestimmt. Wenn der Block in $J$ die Spalten $m,\ldots ,m+k-1$ belegt, so werden die Vektoren $v^{1},\ldots ,v^{k}$ in $P$ ebenso (von links nach rechts) in die Spalten $m,\ldots ,m+k-1$ eingefügt. Die Vektoren $v^{1},\ldots ,v^{k}$ werden nun wie folgt bestimmt:

• Man wähle $v^{k}\in {\rm {Kern}}_{\mathbb {C} }(A-\lambda I)^{k}\setminus [{\rm {Span}}_{\mathbb {C} }({\rm {Kern}}_{\mathbb {C} }(A-\lambda I)^{k-1}\cup M)]$ beliebig, worin $M$ die Menge der zuvor berechneten Spalten (d. h. Basisvektoren) der Stufe $k$ aus zuvor abgearbeiteten Jordanblöcken zum selben Eigenwert $\lambda$ (sofern vorhanden) bezeichnet. Insbesondere an dieser relativ freien Wahl erkennt man, dass die Basistransformation nicht eindeutig sein kann. Wenn $m(\lambda )=1$ ist $v^{1}$ der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$.
• Nach der Wahl obigen Vektors besteht jedoch keinerlei Wahlfreiheit mehr, man muss sukzessiv $v^{j}:=(A-\lambda I)v^{j+1}$ für alle $j=k-1,\ldots ,1$ setzen.

Nachdem man auf obige Weise alle Jordanblöcke abgearbeitet hat, wurden am Ende alle Spalten von $P$ aufgefüllt. Es gilt: $P$ ist regulär und erfüllt $P^{-1}AP=J$, und ihre Spalten bilden eine Basis, bezüglich derer $A$ die Darstellung $J$ besitzt.

Wird die alternative Darstellung der Jordanblöcke gewählt, d.h. mit 1 in der unteren Nebendiagonalen, muss lediglich die Reihenfolge der Basivektoren pro Jordanblock umgekehrt werden.

Beispiel

Als erläuterndes Beispiel betrachte man hierzu die Matrix

$A:={\begin{pmatrix}25&-16&30&-44&-12\\13&-7&18&-26&-6\\-18&12&-21&36&12\\-9&6&-12&21&6\\11&-8&15&-22&-3\end{pmatrix}}$

wie oben. Es gilt

${\rm {Kern}}_{\mathbb {C} }(A-3I)={\rm {Span}}_{\mathbb {C} }\left(\left\{{\begin{pmatrix}-2\\1\\2\\0\\0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\\0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\\0\\0\\1\\\end{pmatrix}}\right\}\right)$ und ${\rm {Kern}}_{\mathbb {C} }(A-3I)^{2}=\mathbb {C} ^{5}$.

Ihre Jordannormalform lautet

$J={\begin{pmatrix}3&1&0&0&0\\0&3&0&0&0\\0&0&3&1&0\\0&0&0&3&0\\0&0&0&0&3\end{pmatrix}}$.

Man beginne mit dem ersten Jordanblock der Dimension 2. Dazu wähle man

$v^{2}\in {\rm {Kern}}_{\mathbb {C} }(A-3I)^{2}\setminus {\rm {Kern}}_{\mathbb {C} }(A-3I)^{1}$

beliebig, beispielsweise $v^{2}:={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix}}$. Dann ist $v^{1}:=(A-3I)v^{2}={\begin{pmatrix}22\\13\\-18\\-9\\11\\\end{pmatrix}}$ zu wählen. Daraus erhält man $P:={\begin{pmatrix}22&1&*&*&*\\13&0&*&*&*\\-18&0&*&*&*\\-9&0&*&*&*\\11&0&*&*&*\end{pmatrix}}$. Nun gehe man zum zweiten Jordanblock der Größe 2 über. Man wähle nun

$w^{2}\in {\rm {Kern}}_{\mathbb {C} }(A-3I)^{2}\setminus {\rm {Span}}_{\mathbb {C} }({\rm {Kern}}_{\mathbb {C} }(A-3I)^{1}\cup \{v^{2}\})$

beliebig, beispielsweise $w^{2}:={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\0\\\end{pmatrix}}$. Dann ist $w^{1}:=(A-3I)w^{2}={\begin{pmatrix}-16\\-10\\12\\6\\-8\\\end{pmatrix}}$, und man landet bei $P={\begin{pmatrix}22&1&-16&0&*\\13&0&-10&1&*\\-18&0&12&0&*\\-9&0&6&0&*\\11&0&-8&0&*\end{pmatrix}}$. Schließlich ist der letzte Jordanblock (der Größe 1) an der Reihe. Man wähle hierzu

$x^{1}\in {\rm {Kern}}_{\mathbb {C} }(A-3I)^{1}\setminus {\rm {Span}}_{\mathbb {C} }(\{v^{1},w^{1}\})$

beliebig, beispielsweise $x^{1}:={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\\0\\\end{pmatrix}}$. Dann ist $P={\begin{pmatrix}22&1&-16&0&2\\13&0&-10&1&0\\-18&0&12&0&0\\-9&0&6&0&1\\11&0&-8&0&0\end{pmatrix}}$ eine reguläre Matrix mit $J=P^{-1}AP$.

Der ineffiziente Ansatz hätte für dieses Beispiel unter anderem ein Gleichungssystem mit 25 Variablen lösen müssen.

Reelle jordansche Normalform

Betrachtet man reelle Matrizen, so zerfällt deren charakteristisches Polynom im Allgemeinen nicht mehr vollständig in Linearfaktoren, sondern nur noch in irreduzible Faktoren, die in diesem Fall stets lineare oder quadratische Faktoren sind. Es stellt sich nun die Frage nach einer Normalform, wenn man ausschließlich reelle Basistransformationen zulässt.

Zu einem quadratischen irreduziblen Faktor $(\lambda -a_{j})^{2}+b_{j}^{2}$ mit $b_{j}>0$ definiert man als Jordanblock

$J_{j}={\begin{pmatrix}a_{j}&b_{j}&&&&&&0\\-b_{j}&a_{j}&1&&&&&\\&&a_{j}&b_{j}&&&&\\&&-b_{j}&a_{j}&1&&&\\&&&\ddots {}&\ddots {}&\ddots {}&&\\&&&&\ddots {}&\ddots {}&1&\\&&&&&\ddots {}&a_{j}&b_{j}\\0&&&&&&-b_{j}&a_{j}\\\end{pmatrix}}.$

Wir nennen die Anzahl der Zeilen (bzw. Spalten) die Größe dieses Blocks. Dann bezeichnet man

$J={\begin{pmatrix}J_{1}&&0\\&\ddots {}&\\0&&J_{k}\end{pmatrix}}=P^{-1}AP$

als reelle jordansche Normalform. Um sie und eine geeignete reelle Matrix $P\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ zu bestimmen, kann man folgendermaßen vorgehen:

• Bestimme das charakteristische Polynom und faktorisiere es in irreduzible Faktoren. Es ergibt sich

$\chi (\lambda )=\prod _{j=1}^{k}(\lambda -\lambda _{j})^{\mu _{j}}\cdot \prod _{j=1}^{l}((\lambda -a_{j})^{2}+b_{j}^{2})^{\nu _{j}}$,

wobei $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R}$ paarweise verschiedene Eigenwerte mit Vielfachheit $\mu _{j}\in \mathbb {N}$ bezeichnen. Weiter seien darin $a_{1},\ldots ,a_{l}\in \mathbb {R}$, $b_{1},\ldots ,b_{l}>0$, $\nu _{1},\ldots ,\nu _{l}\in \mathbb {N}$ und $(a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{l},b_{l})$ paarweise verschieden.

• Für jedes $j\in \{1,\ldots ,k\}$ bestimme man

$K_{j,m}:={\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }(A-\lambda _{j}E)^{m}$ für $m=1,2,\ldots ,m_{j}$,

worin $m_{j}\leq \mu _{j}$ die kleinste natürliche Zahl ist mit $\dim _{\mathbb {R} }K_{j,m_{j}}=\mu _{j}$. Analog bestimme man für jedes $j\in \{1,\ldots ,l\}$

$K^{j,m}:={\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }((A-a_{j}E)^{2}+b_{j}^{2}E)^{m}$ für $m=1,2,\ldots ,n_{j}$,

worin $n_{j}\leq \nu _{j}$ die kleinste natürliche Zahl ist mit $\dim _{\mathbb {R} }K^{j,n_{j}}=2\nu _{j}$.

Zudem setzen wir $K_{j,0}:=K^{j,0}:=\{0\}$.

• Nun stelle man die jordansche Normalform auf. Es gilt hierbei
  • $\ \dim _{\mathbb {R} }K_{j,m}-\dim _{\mathbb {R} }K_{j,m-1}$ ist die Anzahl der Jordanblöcke zum Eigenwert $\lambda _{j}$, deren Größe größer oder gleich $m$ ist.
  • ${\frac {1}{2}}\left(\dim _{\mathbb {R} }K^{j,m}-\dim _{\mathbb {R} }K^{j,m-1}\right)$ ist die Anzahl der Jordanblöcke zum Faktor $(\lambda -a_{j})^{2}+b_{j}^{2}$, deren Größe größer oder gleich $2m$ ist.

Außerdem ist $\mu _{j}$ die Summe der Jordanblockgrößen zum Eigenwert $\lambda _{j}$ und $2\nu _{j}$ die Summe der Jordanblockgrößen zum Faktor $(\lambda -a_{j})^{2}+b_{j}^{2}$. Aus diesen Angaben kann man eindeutig die jordansche Normalform $J$ bestimmen.

• Danach bestimme man die Basistransformationsmatrix $P$, das heißt, man sucht eine reelle invertierbare Matrix $P\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, so dass $J=P^{-1}AP$.

Ein Verfahren, um eine Basistransformation zu erhalten, ist das folgende:

• Man arbeite die Blöcke nacheinander ab. Dabei ist zu beachten, dass man bei Jordanblöcken zum selben irreduziblen Faktor stets vom größten Block zum kleinsten Block vorgeht. Zu jedem Block der Größe $t$ werden $t$ Spalten der Basistransformationsmatrix $v^{1},\ldots ,v^{t}$ nach einem bestimmten Schema bestimmt. Wenn der Block in $J$ die Spalten $m,\ldots ,m+t-1$ belegt, so werden die Vektoren $v^{1},\ldots ,v^{t}$ in $P$ ebenso (von links nach rechts) in die Spalten $m,\ldots ,m+t-1$ eingefügt. Die Vektoren $v^{1},\ldots ,v^{t}$ werden nun wie folgt bestimmt:
  • Zu einem Jordanblock der Größe $m$ zum Eigenwert $\lambda _{j}$ wähle man $v^{m}\in K_{j,m}\setminus [{\rm {Span}}_{\mathbb {R} }(K_{j,m-1}\cup M)]$ beliebig, worin $M$ die Menge der zuvor berechneten Spalten (das heißt Basisvektoren) der Stufe $m$ aus zuvor abgearbeiteten Jordanblöcken zum selben Eigenwert $\lambda$ (sofern vorhanden) bezeichnet. Anschließend setze man sukzessiv $v^{t-1}:=(A-\lambda _{j}E)v^{t}$ für alle $t=m,\ldots ,2$.
  • Zu einem Jordanblock der Größe $2m$ zum irreduziblen Faktor $((\lambda -a_{j})^{2}+b_{j}^{2})$ wähle man einen Vektor $v^{2m}\in K^{j,m}\setminus [{\rm {Span}}_{\mathbb {R} }(K^{j,m-1}\cup M)]$, wobei $M$ aus den bereits berechneten Hauptvektoren der Stufen $2m,2m-1$ zum selben irreduziblen Faktor $((\lambda -a_{j})^{2}+b_{j}^{2})$ besteht.

Dann setze man für $t=2m,\ldots ,2$ sukzessiv $v^{t-1}:=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{b_{j}}}(A-a_{j}E)v^{t}\ ,&{\textrm {falls}}\ t\ {\textrm {gerade}}\ ,\\(A-a_{j}E)v^{t}+b_{j}v^{t+1}\ ,&{\textrm {falls}}\ t\ {\textrm {ungerade}}\ .\\\end{array}}\right.$

Schließlich setzt man $P$ wie gehabt aus den Vektoren $v^{1},\ldots ,v^{2m}$ zusammen.

• Nachdem man auf obige Weise alle Jordanblöcke abgearbeitet hat, werden am Ende alle Spalten von $P$ aufgefüllt. Es gilt: $P$ ist regulär und erfüllt $P^{-1}AP=J$, und ihre Spalten bilden eine Basis, bezüglich derer $A$ die Darstellung $J$ besitzt.

Beispiel

Man betrachte die Matrix $B\in M_{5}(\mathbb {R} )$, die wie folgt definiert ist

$B:={\begin{pmatrix}6&-2&6&1&1\\1&-1&2&1&-2\\-2&0&-1&0&-1\\-1&0&-2&2&-1\\-4&4&-6&-2&3\end{pmatrix}}.$

Ihr charakteristisches Polynom lautet $\chi (\lambda )=((\lambda -2)^{2}+1))^{2}(\lambda -1)$, wobei $(\lambda -2)^{2}+1$ irreduzibel über $\mathbb {R}$ ist. Nun berechnen wir die jordansche Normalform:

${\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }(B-1E)={\rm {Span}}_{\mathbb {R} }\left(\left\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\-1\\0\\\end{pmatrix}}\right\}\right)$.

Dieser Kern hat die Dimension 1. Also gibt es nur einen Jordanblock der Größe $\geq 1$. Andererseits muss die Summe der Jordanblockgrößen 1 sein (die Potenz von $\lambda -1$), so dass es genau einen Jordanblock zum Eigenwert 1 gibt, und er hat die Größe 1. Weiter hat

${\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }((B-2E)^{2}+1^{2}E)={\rm {Span}}_{\mathbb {R} }\left(\left\{{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\\-1\\-1\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\\-1\\\end{pmatrix}}\right\}\right)$

die Dimension 2, so dass es demzufolge nur ${\frac {1}{2}}\cdot 2=1$ Jordanblock der Größe $\geq 2$ gibt. Da die Summe der Jordanblockgrößen 4 sein muss (das Doppelte der Potenz von $(\lambda -2)^{2}+1$), ergibt sich, dass dieser eine Jordanblock die Größe 4 besitzt. Außerdem errechnen wir

${\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }((B-2E)^{2}+1^{2}E)^{2}={\rm {Span}}_{\mathbb {R} }\left(\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\-1\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\-1\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\-1\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\0\\\end{pmatrix}}\right\}\right)$.

Somit ist $J:={\begin{pmatrix}1&&&&\\&2&1&&\\&-1&2&1&\\&&&2&1\\&&&-1&2\end{pmatrix}}$ die reelle jordansche Normalform von $B$.

Zum Vergleich, die komplexe jordansche Normalform lautet $J_{\mathbb {C} }:={\begin{pmatrix}1&&&&\\&2+i&1&&\\&&2+i&&\\&&&2-i&1\\&&&&2-i\end{pmatrix}}$.

Zum Berechnen einer Basistransformationsmatrix beginne man mit dem ersten reellen Eigenwert und dann mit dem (ersten) Jordanblock der Dimension 1. Man wähle

$u^{1}\in {\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }(B-1E)^{1}\setminus {\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }(B-1E)^{0}$

beliebig, also beispielsweise $u^{1}:={\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\-1\\0\\\end{pmatrix}}$. Daraus erhält man $P:={\begin{pmatrix}1&*&*&*&*\\-1&*&*&*&*\\-1&*&*&*&*\\-1&*&*&*&*\\0&*&*&*&*\end{pmatrix}}$.

Nun gehe man zum ersten irreduziblen Faktor (komplexen Eigenwert) und dann zum Jordanblock der Größe 4 über. Dazu wähle man

$v^{4}\in {\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }((B-2E)^{2}+1^{2}E)^{2}\setminus {\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }((B-2E)^{2}+1^{2}E)^{1}$

beliebig, beispielsweise $v^{4}:={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\0\\\end{pmatrix}}$. Dann ist $v^{3}:={\frac {1}{1}}(B-2E)v^{4}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\\-2\\\end{pmatrix}}$, $v^{2}:=(B-2E)v^{3}+bv^{4}={\begin{pmatrix}0\\2\\0\\2\\-2\\\end{pmatrix}}$ und $v^{1}:={\frac {1}{1}}(B-2E)v^{2}={\begin{pmatrix}-4\\0\\2\\2\\2\\\end{pmatrix}}$ zu wählen. Daraus erhält man: $P:={\begin{pmatrix}1&-4&0&1&0\\-1&0&2&1&0\\-1&2&0&0&0\\-1&2&2&0&1\\0&2&-2&-2&0\end{pmatrix}}$ ist eine reguläre Matrix mit $J=P^{-1}BP$.

Jordansche Normalform in allgemeinen Körpern

Die jordansche Normalform kann noch weiter verallgemeinert werden auf allgemeine Körper. In diesem Zusammenhang wird sie häufig auch als Weierstraß-Normalform (bzw. Frobenius-Normalform) bezeichnet. Dies erlaubt eine eindeutige Matrixdarstellung von Endomorphismen von endlich-dimensionalen Vektorräumen, bei der sich alle ähnlichen Endomorphismen durch eine eindeutige Matrix darstellen lassen. So können ähnliche lineare Abbildungen identifiziert werden. Das Lemma von Frobenius charakterisiert zueinander ähnliche Matrizen durch die Elementarteiler ihrer charakteristischen Matrizen und liefert die Frobenius-Normalform als Normalform des Vektorraums unter der Operation eines Polynomrings.

Durch die Darstellung in der Weierstraß-Normalform ist der Aufbau des Minimalpolynoms sofort erkennbar und das charakteristische Polynom leicht zu berechnen.

Anwendung bei linearen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Gegeben sei ein lineares Differentialgleichungssystem (von $n$ Gleichungen) erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

$y'=A\cdot y+g(x)$

durch eine Matrix $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ und eine stetige Funktion $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} ^{n}$. Es ist bekannt, dass die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems

$y(x_{0})=y_{0}\in \mathbb {C} ^{n}$

gegeben ist durch

$y(x)=e^{(x-x_{0})A}\cdot y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}e^{(x-t)A}g(t){\rm {d}}t\$,

worin

$\exp(B):=e^{B}:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}B^{k}$ für $B\in \mathbb {C} ^{n\times n}$

die Matrixexponentialfunktion bezeichnet. Man beachte:

• Die Matrixexponentialfunktion von einem komplexen Jordanblock kann explizit ausgerechnet werden:

$\exp \left(t\cdot {\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}\right)=e^{t\lambda }\cdot {\begin{pmatrix}1&{\frac {t^{1}}{1!}}&{\frac {t^{2}}{2!}}&\cdots &{\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}\\0&1&{\frac {t^{1}}{1!}}&\cdots &{\frac {t^{n-2}}{(n-2)!}}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&{\frac {t^{1}}{1!}}\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}$.

• Die Matrixexponentialfunktion von einer komplexen Jordannormalform $J={\rm {diag}}(J_{1},\ldots ,J_{m})$ kann explizit berechnet werden mittels:

$\exp(t\cdot {\rm {diag}}(J_{1},\ldots ,J_{m}))={\rm {diag}}(\exp(tJ_{1}),\ldots ,\exp(tJ_{m}))$.

• Die Matrixexponentialfunktion einer Matrix $A$, deren komplexe Jordannormalform $J$ zusammen mit einer Basistransformationsmatrix $P\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ bekannt ist, das heißt $A=PJP^{-1}$, kann explizit berechnet werden mittels:

$\exp(t\cdot P^{-1}JP)=P^{-1}\cdot \exp(tJ)\cdot \exp(P)$.

Mit anderen Worten: Kennt man eine Darstellung $A=PJP^{-1}$ mit der komplexen jordanschen Normalform $J$, so kann man $\exp(tA)$ für jedes $t\in \mathbb {R}$ explizit ausrechnen, so dass zum Bestimmen von

$y(x)=e^{(x-x_{0})A}\cdot y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}e^{(x-t)A}g(t){\rm {d}}t\$

nur noch das Integrationsproblem zu lösen ist, welches im homogenen Fall $g=0$ völlig entfällt.

Siehe auch

• Diagonalisierung ist ein Spezialfall der jordanschen Normalform.
• Die jordansche Normalform ist ein Spezialfall der Weierstraß-Normalform.
• Die Existenz der jordanschen Normalform liefert die Existenz der (additiven) Jordan-Chevalley-Zerlegung eines Endomorphismus.

Literatur

• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. Gruyter - de Gruyter Lehrbücher, Berlin/New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.

Weblinks

• Daniel Winkler: Kochen mit Jordan. (PDF-Datei)
• Jordan matrix. In: Encyclopaedia of Mathematics. (englisch)
• Jordan canonical form theorem. In: PlanetMath. (englisch)
• The Real Jordan Form. In: Number Theory Web. (englisch; PDF-Datei; 110 kB)
• Das Gelbe Rechenbuch / Zusätze: Jordanform von Matrizen (PDF-Datei)